Ο κύριος Ζιγκ

[αρψ2400]

Ο κύριος Ζιγκ Ζαγκ ο κάβουρας κινείται ευθύγραμμα, προς οποιαδήποτε κατεύθυνση επιθυμεί και κατά ευθύγραμμο τμήμα μήκους όχι μεγαλύτερου της μονάδας.Μετά από κάθε τέτοια κίνηση κινείται κάθετα κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα .Μετά ξαναδιαλέγει όποια κατεύθυνση θέλει .Αν ξεκίνησε από το σημείο μετά από πόσες τουλάχιστον κινήσεις (ευθύγραμμα τμήματα) μπορεί να φτάσει στο (περάσει από το) σημείο ;

[Mihalis_Lambrou]

Ο κύριος Ζιγκ Ζαγκ ο κάβουρας κινείται ευθύγραμμα .Πριν διανύσει ευθύγραμμο τμήμα μεγαλύτερο της μονάδας κινείται κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα κάθετα .Αν ξεκίνησε από το σημείο μετά από πόσες τουλάχιστον κινήσεις θα φτάσει στο σημείο ;

ζιγκ 2.png (38.25 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές

.
Η εκφώνηση έχει πολλές ασάφειες. Πρώτα απ' όλα υποθέτω ότι το "πριν" πρέπει να γίνει "μετά" γιατί το "πριν" δεν έχει νόημα δεδομένου ότι το "πριν" αυτό έχει δικό του "πριν", προς τα πίσω, επ΄ άπειρον. Δεύτερον, υποθέτω ότι αν κάνει ένα βήμα και μετά ίσο τμήμα κάθετα, αρχίζει νέος γύρος. Δηλαδή μετά από ένα βήμα και το ίσο τμήμα κάθετα ΔΕΝ ξανακάνει ίσο τμήμα κάθετα, αλλά αρχίζει νέο βήμα, που μπορεί να είναι άλλου μήκους.

Άλλη ασάφεια είναι ότι, υποθέτω, ο κάβουρας πρέπει να κινείται κατά μήκος οριζόντιων και κάθετων γραμμών. Αλλιώς φτάνει με μία κίνηση (συν το "μετά" που της αντιστοιχεί). Το παραπάνω σχήμα δείχνει τον τρόπο, με την διαδρομή να είναι και μετά η ίση και κάθετή της διαδρομή .

Προχωράμε, λοιπόν, οριζόντια και κάθετα (παράλληλα των αξόνων) και κάθε ζεύγος βημάτων είναι ανεξάρτητο:

Εφόσον δεν θα τα καταφέρει σε ένα βήμα και το ίσο του, κάθετα. Άρα χρειάζεται τουλάχιστον δύο βήματα (και τα κάθετά τους). Με δύο βήματα μπορεί να τα καταφέρει: α) πάει Ανατολικά και Βόρεια και μετά β) Ανατολικά και Νότια. Το σχήμα παρακάτω δείχνει την διαδρομή.
.

ζιγκ.png (24.9 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές

[αρψ2400]

Άκυρο

[αρψ2400]

Άκυρο

[αρψ2400]

Άκυρο

[αρψ2400]

το "πριν" αυτό έχει δικό του "πριν", προς τα πίσω, επ΄ άπειρον.

Σωστά αλλα έτσι δεν επιτυγχάνεται το 'τουλάχιστον'

Δεύτερον, υποθέτω ότι αν κάνει ένα βήμα και μετά ίσο τμήμα κάθετα, αρχίζει νέος γύρος. Δηλαδή μετά από ένα βήμα και το ίσο τμήμα κάθετα ΔΕΝ ξανακάνει ίσο τμήμα κάθετα, αλλά αρχίζει νέο βήμα, που μπορεί να είναι άλλου μήκους.

Αφού δεν το απαγορεύει η εκφώνηση μπορεί να το κάνει για να φτάσει στο στόχο του .Υπάρχουν άπειρες κινήσεις που μπορεί να κάνει για να μην φτάσει στο στόχο ή να φτάσει αλλά όχι με τον ελάχιστο αριθμό κινήσεων.

Άλλη ασάφεια είναι ότι, υποθέτω, ο κάβουρας πρέπει να κινείται κατά μήκος οριζόντιων και κάθετων γραμμών.

Δεν υπάρχει τέτοιος περιορισμός

Αλλιώς φτάνει με μία κίνηση (συν το "μετά" που της αντιστοιχεί)

Όχι , υπάρχει τέτοιος περιορισμός :

Πριν διανύσει ευθύγραμμο τμήμα μεγαλύτερο της μονάδας κινείται κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα κάθετα

Διατυπωμένο με περισσότερες διευκρινίσεις που είναι και το καλύτερο δεδομένου ότι το πρόβλημα είναι στο φάκελο β Γυμναασίου .

Ο κύριος Ζιγκ Ζαγκ ο κάβουρας κινείται ευθύγραμμα, προς οποιαδήποτε κατεύθυνση επιθυμεί και κατά ευθύγραμμο τμήμα μήκους όχι μεγαλύτερου της μονάδας.Μετά από κάθε τέτοια κίνηση κινείται κάθετα κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα .Μετά ξαναδιαλέγει όποια κατεύθυνση θέλει .Αν ξεκίνησε από το σημείο μετά από πόσες τουλάχιστον κινήσεις (ευθύγραμμα τμήματα) μπορεί να φτάσει (περάσει) στο σημείο ;

[/quote]

[Mihalis_Lambrou]

Αγαπητέ αρψ2400,

έχεις γράψει τέσσερις φορές το ίδιο ακριβώς κείμενο αλλά ομολογώ ότι οι απαντήσεις/διευκρινήσεις σου με μπερδεύουν περισσότερο από ότι με μπέρδευε η αρχική διατύπωση.

Επίσης, εκείνες από τις απαντήσεις σου που καταλαβαίνω, τις βρίσκω πολύ λάθος. (*)

Για παράδειγμα αναφέρεσαι (με κόκκινο) στην λέξη "τουλάχιστον" σαν να δηλώνεις ότι κάνω κάτι λάθος. Μα η λύση μου ακριβώς δίνει το πλήθος όσων τουλάχιστον κινήσεεων χρειάζονται. Ακριβέστερα, λέει ότι μία (και η κάθετή της) κίνηση αρκούν όταν τα βήματα επιτρέπεται να μην είναι παράλληλα στους άξονες, και δύο (με τις κάθετες) αλλιώς. Με άλλα λόγια, η απάντηση δίνει τον μικρότερο δυνατό αριθμό βημάτων (δηλαδή "τουλάχιστον" τόσα.)

Επίσης κάπου λές "Αφού δεν το απαγορεύει η εκφώνηση μπορεί να το κάνει για να φτάσει στο στόχο του". Λάθος. Η εκφώνηση, όπως την γράφεις, λέει ότι ΠΡΕΠΕΙ όλα τα βήματα να έχουν το ίδιο μήκος (διότι το καθένα είναι το "πριν" του επόμενου).

Λυπάμαι, αλλά δεν θα συνεχίσω την συζήτηση. Έχω πολύ μεγάλο χάσμα για να καταλάβω τι εννοείς. Ας προσθέσω ότι κατά καιρούς έχω διαβάσει ωραιότατες λύσεις σου σε προβλήματα που έθεσαν άλλοι, αλλά στις εκφωνήσεις που αναρτάς ο ίδιος έχω, κατά κανόνα, πρόβλημα.

(*) Κάτι ανάλογο είχες κάνει και παλαιότερα σε μία άσκηση που ζήταγε το πλήθος των βιβλίων σε ένα ράφι. Στο τέλος αποδείχθηκε ότι μετρούσες και βιβλία που το μισό τους ήταν έξω από το ράφι!

[αρψ2400]

Ο κύριος Ζιγκ Ζαγκ ο κάβουρας κινείται ευθύγραμμα .Πριν διανύσει ευθύγραμμο τμήμα μεγαλύτερο της μονάδας κινείται κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα κάθετα .Αν ξεκίνησε από το σημείο μετά από πόσες τουλάχιστον κινήσεις θα φτάσει στο σημείο ;

Το σημείο απέχει από το απόσταση:

Σε κάθε δύο διαδοχικές κινήσεις, ο κάβουρας κινείται σε δύο κάθετα και ίσα ευθύγραμμα τμήματα μήκους μικρότερου της μονάδας. Άρα η συνισταμένη τους είναι μικρότερη από:

Με κινήσεις έχουμε τέτοια ζευγάρια, άρα η μέγιστη μετατόπιση είναι:

Επειδή:

οι κινήσεις δεν επαρκούν.
Με κινήσεις (8 ζευγάρια και μία επιπλέον) μπορούμε να φτάσουμε στο σημείο .

[Mihalis_Lambrou]

.
Μάλλον χάνω κάτι.

Από την μια η εκφώνηση επιτρέπει βήμα μεγαλύτερο της μονάδας, υπό κάποια συνθήκη:
.

Πριν διανύσει ευθύγραμμο τμήμα μεγαλύτερο της μονάδας κινείται κατά ...

.
αλλά στην λύση βλέπουμε
.

Σε κάθε δύο διαδοχικές κινήσεις, ο κάβουρας κινείται σε δύο κάθετα και ίσα ευθύγραμμα τμήματα μήκους μικρότερου της μονάδας.

[αρψ2400]

.
Μάλλον χάνω κάτι.

Από την μια η εκφώνηση επιτρέπει βήμα μεγαλύτερο της μονάδας, υπό κάποια συνθήκη:
.

Πριν διανύσει ευθύγραμμο τμήμα μεγαλύτερο της μονάδας κινείται κατά ...

.
αλλά στην λύση βλέπουμε
.

Σε κάθε δύο διαδοχικές κινήσεις, ο κάβουρας κινείται σε δύο κάθετα και ίσα ευθύγραμμα τμήματα μήκους μικρότερου της μονάδας.

Νομίζω ότι η νέα διατύπωση του προβλήματος ξεκαθαρίζει τα πράγματα.
''Ο κύριος Ζιγκ Ζαγκ ο κάβουρας κινείται ευθύγραμμα, προς οποιαδήποτε κατεύθυνση επιθυμεί και κατά ευθύγραμμο τμήμα μήκους όχι μεγαλύτερου της μονάδας.Μετά από κάθε τέτοια κίνηση κινείται κάθετα κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα .Μετά ξαναδιαλέγει όποια κατεύθυνση θέλει .Αν ξεκίνησε από το σημείο μετά από πόσες τουλάχιστον κινήσεις (ευθύγραμμα τμήματα) μπορεί να φτάσει (περάσει) στο σημείο ;''

Έτρεξα το πρόβλημα στο gemini pro με την αρχική διατύπωση και δεν βρήκε κάποια ασάφεια .Παραθέτω μόνο το σύνδεσμο και σε απόκρυψη αφού οι λύσεις ΑΙ απάγορεύονται.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

https://gemini.google.com/share/6ea5b936bbb9

[Mihalis_Lambrou]

.
Παρατηρώ ότι με την νέα διατύπωση του προβλήματος εξαλήφθηκε οποιαδήποτε αναφορά σε βήματα μεγαλύτερα της μονάδος, πράγμα που με μπέρδευε. Και επίσης μπέρδεψε το ΑΙ, παρότι το ίδιο νομίζει ότι ερμήνευσε σωστά την ερώτηση. Αλλά δεν θα μπω στις λεπτομέρειες διότι ως ΑΙ μπορεί να λέει ότι θέλει, χωρίς αιτιολόγηση.

Θα μείνω όμως σε σχολιασμό της λύσης σε ένα σημείο που είναι ασύμβατη με την εκφώνηση.

Η εκφώνηση γράφει

... Μετά από κάθε τέτοια κίνηση κινείται κάθετα κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα .

Πλην όμως στην λύση βλέπουμε

... Με κινήσεις (8 ζευγάρια και μία επιπλέον) μπορούμε να φτάσουμε στο σημείο .

Δηλαδή στο τελευταίο βήμα (την μία επιπλέον κίνηση) ΔΕΝ κινήθηκε κάθετα, όπως ορίζει η εκφώνηση.

Για μένα το θέμα κλείνει, και δεν θα επανέλθω.

[αρψ2400]

.
Παρατηρώ ότι με την νέα διατύπωση του προβλήματος εξαλήφθηκε οποιαδήποτε αναφορά σε βήματα μεγαλύτερα της μονάδος, πράγμα που με μπέρδευε. Και επίσης μπέρδεψε το ΑΙ, παρότι το ίδιο νομίζει ότι ερμήνευσε σωστά την ερώτηση. Αλλά δεν θα μπω στις λεπτομέρειες διότι ως ΑΙ μπορεί να λέει ότι θέλει, χωρίς αιτιολόγηση.

Θα μείνω όμως σε σχολιασμό της λύσης σε ένα σημείο που είναι ασύμβατη με την εκφώνηση.

Η εκφώνηση γράφει

... Μετά από κάθε τέτοια κίνηση κινείται κάθετα κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα .

Πλην όμως στην λύση βλέπουμε

... Με κινήσεις (8 ζευγάρια και μία επιπλέον) μπορούμε να φτάσουμε στο σημείο .

Δηλαδή στο τελευταίο βήμα (την μία επιπλέον κίνηση) ΔΕΝ κινήθηκε κάθετα, όπως ορίζει η εκφώνηση.

Για μένα το θέμα κλείνει, και δεν θα επανέλθω.

Είναι το ίδιο πράγμα με το γνωστο ''Πέφτει ένα βατράχι στον πάτο ενός πηγαδιού 100 μέτρων. Την ημέρα ανεβαίνει 10 μέτρα και το βράδυ κατεβαίνει 9 μέτρα. Πόσες μέρες χρειάζεται για να βγεί από το πηγάδι ;''

[Mihalis_Lambrou]

Είναι το ίδιο πράγμα με το γνωστο ''Πέφτει ένα βατράχι στον πάτο ενός πηγαδιού 100 μέτρων. Την ημέρα ανεβαίνει 10 μέτρα και το βράδυ κατεβαίνει 9 μέτρα. Πόσες μέρες χρειάζεται για να βγεί από το πηγάδι ;''

.
Όχι δεν είναι το ίδιο. Στο βατραχάκι το πρόβλημα λέει ότι ανεβαίνει τόσο τις ημέρες και κατεβαίνει τόσο την νύχτες. Εδώ λέει ρητά ότι καθέ βήμα συνοδεύεται υποχρεωτικά από κάθετο βήμα. Είναι στο σημείο
.

... Μετά από κάθε τέτοια κίνηση κινείται κάθετα κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα .

[αρψ2400]

Είναι το ίδιο πράγμα με το γνωστο ''Πέφτει ένα βατράχι στον πάτο ενός πηγαδιού 100 μέτρων. Την ημέρα ανεβαίνει 10 μέτρα και το βράδυ κατεβαίνει 9 μέτρα. Πόσες μέρες χρειάζεται για να βγεί από το πηγάδι ;''

.
Όχι δεν είναι το ίδιο. Στο βατραχάκι το πρόβλημα λέει ότι ανεβαίνει τόσο τις ημέρες και κατεβαίνει τόσο την νύχτες. Εδώ λέει ρητά ότι καθέ βήμα συνοδεύεται υποχρεωτικά από κάθετο βήμα. Είναι στο σημείο
.

... Μετά από κάθε τέτοια κίνηση κινείται κάθετα κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα .

Και το βατραχάκι αν θέλει να ζει στο νερό αφού φτάσει στο χείλος του πηγαδιού ξαναπέφτει 9 μέτρα.Έτσι και ο κάβουρας μόλις φτάσει στο στόχο του συνεχίζει τη ζωή του κανονικά κινούμενος κάθετα στην 18η κίνησή του.
Έγραψα αυτό το πρόβλημα , και το έθεσα στην ΑΙ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

https://chatgpt.com/share/69d8a7a8-37d4 ... 8ee5b8d5e2

$ .Το έλυσε σωστά ,αλλά επειδή υπήρχε μία αμφισημία άλλαξα την αρχή της δεύτερης πρότασης.Μετά τη συζήτηση που είχα με τον κύριο Λάμπρου βλέπω ότι το ενδιαφέρον κομμάτι δεν είναι το πρόβλημα αυτό καθεαυτό ,(είναι ένα ίσως δύσκολο πρόβλημα β γυμνασίου), αλλά η λογική ερμηνεία της διατύπωσης.Αν υπάρχουν περισσότεροι του ενός τρόπου κίνησης για τον κάβουρα , τότε παίρνει κανείς περιπτώσεις. Δεν μπορώ να βρω ερμηνεία που να οδηγεί σε λύση με λιγότερο από 17 ζιγκ ζαγκ.Γενικά δεν μπορώ να βρω άλλη ερμηνεία κίνησης του κάβουρα.Για παράδειγμα αυτή η ερμηνεία "πριν" πρέπει να γίνει "μετά" γιατί το "πριν" δεν έχει νόημα δεδομένου ότι το "πριν" αυτό έχει δικό του "πριν", προς τα πίσω, επ΄ άπειρον'' οδηγεί στην ακινησία τον κάβουρα .Αν η ΑΙ δεν το είχε λύσει θα την είχα ξαναρωτήσει χρησιμοποιώντας τη δεύτερη πιο αναλυτική διατύπωση .Τι λέτε κ. Λάμπρου για τη δεύτερη διατύπωση που έδωσα αμέσως μετά την πρώτη απάντησή σας; Τελικά είχε πλάκα αυτό το προβληματάκι και η συζήτηση που κάναμε και σας ευχαριστώ.

[Mihalis_Lambrou]

... το ενδιαφέρον κομμάτι δεν είναι το πρόβλημα αυτό καθεαυτό... αλλά η λογική ερμηνεία της διατύπωσης.

Λάθος οπτική.

Οι διατυπώσεις των προβλημάτων πρέπει να είναι απόλυτα σαφείς. Να μην χρειάζεται να μανέψει κανείς τι έχει στον νου του ο θεμάμοθέτης, χωρίς να πρέπει να μυρίσει τα νύχια του.

Υπενθυμίζω την περίπτωση (την αναφέρω παραπάνω) με ένα πρόβλημα με βιβλία σε ράφι που έπρεπε να μαντέψουμε ότι επιτρεπόταν να περισσεύει κατά το ήμιση ένα βιβλίο, έξω από το ράφι.

Για να το πω με χιούμοορ:

Φαντάσου να πας να αγοράσεις ένα αυτοκίνητο όπου ο πωλητής θα σου πει ότι χωράνε επιβάτες, αλλά εσύ βλέπεις ότι χωράνε μόνο . Και να σου απαντήσει στο ερώτημά σου ότι ο έκτος έχει το μισό του σώμα έξω από το παράθυρο, οπότε χωράει και αυτός. Α, ξέχασα και τον επιβάτη στο πορτ μπαγκάζ, οπότε τελικά χωράνε .

[αρψ2400]

... το ενδιαφέρον κομμάτι δεν είναι το πρόβλημα αυτό καθεαυτό... αλλά η λογική ερμηνεία της διατύπωσης.

Λάθος οπτική.

Οι διατυπώσεις των προβλημάτων πρέπει να είναι απόλυτα σαφείς. Να μην χρειάζεται να μανέψει κανείς τι έχει στον νου του ο θεμάμοθέτης, χωρίς να πρέπει να μυρίσει τα νύχια του.

Υπενθυμίζω την περίπτωση (την αναφέρω παραπάνω) με ένα πρόβλημα με βιβλία σε ράφι που έπρεπε να μαντέψουμε ότι επιτρεπόταν να περισσεύει κατά το ήμιση ένα βιβλίο, έξω από το ράφι.

Για να το πω με χιούμοορ:

Φαντάσου να πας να αγοράσεις ένα αυτοκίνητο όπου ο πωλητής θα σου πει ότι χωράνε επιβάτες, αλλά εσύ βλέπεις ότι χωράνε μόνο . Και να σου απαντήσει στο ερώτημά σου ότι ο έκτος έχει το μισό του σώμα έξω από το παράθυρο, οπότε χωράει και αυτός. Α, ξέχασα και τον επιβάτη στο πορτ μπαγκάζ, οπότε τελικά χωράνε .

Το πρόβλημα δεν αφορούσε βιβλία αλλά μπάλες που εφάπτονταν σε ευθείες ράγες.
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 82#p375799

[Mihalis_Lambrou]

Το πρόβλημα δεν αφορούσε βιβλία αλλά μπάλες που εφάπτονταν σε ευθείες ράγες.

3 ή 4.png (2.57 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές

.
Νομίζω ότι η συζήτηση έχει ξεφύγει. Τι βιβλία, τι μπάλες. Η ουσία είναι η ίδια.

Και άλλη φορά θεωρείς (από την εικόνα που παραθέτεις) ότι έχουμε μαντέψει το είδος του ραφιού που χρησιμοποιείς και τον ειδικό προσανατολισμό που έχουν οι ράγες. Π.χ. δεν είναι κάθετα σε αυτές που σχεδιάζεις.

Αναρωτιέμε πώς θα έβαζες μπάλες στο ράφι της εικόνας παραπάνω, γιατί εγώ μπορώ να χωρέσω μόνο .

Υποθέτω ότι δεν θα είχες πρόβλημα με την παρακάτω διευθέτηση.
.

3 ή 4 β.png (4.71 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές

[αρψ2400]

Το πρόβλημα δεν αφορούσε βιβλία αλλά μπάλες που εφάπτονταν σε ευθείες ράγες.

3 ή 4.png
.
Νομίζω ότι η συζήτηση έχει ξεφύγει. Τι βιβλία, τι μπάλες. Η ουσία είναι η ίδια.

Και άλλη φορά θεωρείς (από την εικόνα που παραθέτεις) ότι έχουμε μαντέψει το είδος του ραφιού που χρησιμοποιείς και τον ειδικό προσανατολισμό που έχουν οι ράγες. Π.χ. δεν είναι κάθετα σε αυτές που σχεδιάζεις.

Αναρωτιέμε πώς θα έβαζες μπάλες στο ράφι της εικόνας παραπάνω, γιατί εγώ μπορώ να χωρέσω μόνο .

Υποθέτω ότι δεν θα είχες πρόβλημα με την παρακάτω διευθέτηση.
.
3 ή 4 β.png

Τι βιβλία, τι μπάλες. Η ουσία είναι η ίδια.

.Όχι οι σφαίρες δεν είναι το ίδιο με τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα.

Και άλλη φορά θεωρείς (από την εικόνα που παραθέτεις) ότι έχουμε μαντέψει το είδος του ραφιού που χρησιμοποιείς και τον ειδικό προσανατολισμό που έχουν οι ράγες. Π.χ. δεν είναι κάθετα σε αυτές που σχεδιάζεις.

.
Το πρόβλημα είναι σαφές :''Ένα κατάστημα αθλητικών ειδών έχει μπάλες ,που στηρίζονται επάνω σε μία οριζόντια και ευθύγραμμη αυλακωτή ράβδο. Πόσες (το πολύ) μπάλες με ακτίνα 15 cm μπορούν να χωρέσουν σε μια αυλακωτή ράβδο μήκους 602 cm;(Οι μπάλες τοποθετούνται η μία μετά την άλλη και τα κέντρα τους είναι στην ίδια ευθεία).

Υποθέτω ότι δεν θα είχες πρόβλημα με την παρακάτω διευθέτηση.

Έχω πρόβλημα γιατί είναι άσχετη με το πρόβλημα .Δεν μιλάω για κουτί αλλα για μπάλες ''που στηρίζονται επάνω σε μία οριζόντια και ευθύγραμμη αυλακωτή ράβδο''

Είχατε γράψει ''Υπενθυμίζω την περίπτωση (την αναφέρω παραπάνω) με ένα πρόβλημα με βιβλία σε ράφι που έπρεπε να μαντέψουμε ότι επιτρεπόταν να περισσεύει κατά το ήμιση ένα βιβλίο, έξω από το ράφι.'' .Οφείλουμε να αναφέρουμε τα πράγματα όπως είναι και ο καθένας ας βγάζει τα συμπεράσματά του.