Εμβαδά και ... Πυθαγόρειο

Tolaso J Kos · #1

Δίνεται το τετράγωνο $\mathrm{AB} \Gamma \Delta$ με $\mathrm{B} \Gamma = 4m$ . Τα σημεία $\mathrm{M}$ και $\mathrm{N}$ είναι μέσα των πλευρών $\mathrm{A}\Delta$ και $\mathrm{AB}$ αντίστοιχα. Είναι επιπλέον $\mathrm{EZ} = \Delta \mathrm{Z} = 1m$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[line width=1.6pt] (-2, 2) -- (2, 2 ) -- (2, -2) -- (-2, -2) -- cycle; \draw[dashed](-1, -1) -- (-1, -2); \draw[fill=gray] (-2, 0) -- (-1,-1) -- (0, 2) -- cycle; \draw (-2, 2) node[above]{A}; \draw (2, 2) node[above]{B}; \draw(2, -2) node[below]{\textgreek{Γ}}; \draw (-2, -2) node[below]{\textgreek{Δ}}; \draw (0, 2) node[above]{N}; \draw (-2, 0) node[left]{M}; \draw (-1, -2) node[below]{Z}; \draw (-1, -1) node[right]{E}; \draw (-1.7,-0.3) -- (-1.4,0) -- (-1.7,0.3) -- (-2,0) -- cycle; \draw (-1, -1.5) node[right]{1m}; \draw (-1.5, -2) node[below]{1m}; \draw (2, 0) node[right]{4m}; \end{tikzpicture}}$

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου $\mathrm{MNE}$ .
Να βρεθεί η πλευρά $\mathrm{ME}$ .
Να βρεθεί η πλευρά $\mathrm{NE}$ .
Να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\Gamma \mathrm{NE}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

cool geometry · #2

Καλό μήνα!!!
i) $\angle AMN=45^{0}\Rightarrow \angle DME=45^{0}(1).$
$\angle DZE=90^{0}\Rightarrow \angle EDZ=45^{0}\Rightarrow \angle MDE=45^{0}\Rightarrow \angle MED=90^{0}(2)$
$MD=2\Rightarrow ME^{2}+ME^{2}=4\Rightarrow ME^{2}=2(3)$
$AM=AN=2\Rightarrow MN^{2}=8(4)$
$ME^{2}\cdot MN^{2}=2\cdot 8\Rightarrow ME\cdot MN=4\Rightarrow (MNE)=2m^{2}.$
ii) $ME^{2}=2\Rightarrow ME=\sqrt{2}$
iii) $NE^{2}=MN^{2}+ME^{2}=8+2\Rightarrow NE=\sqrt{10}$
iv) $ZC=3, ZE=1\Rightarrow CE^{2}=10\Rightarrow CE=\sqrt{10}.$
$CN^{2}=NB^{2}+BC^{2}=2^{2}+4^{2}\Rightarrow CN=2\sqrt{5}$
Το ζητούμενο έπεται.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 30, 2022 7:13 am
Δίνεται το τετράγωνο $\mathrm{AB} \Gamma \Delta$ με $\mathrm{B} \Gamma = 4m$ . Τα σημεία $\mathrm{M}$ και $\mathrm{N}$ είναι μέσα των πλευρών $\mathrm{A}\Delta$ και $\mathrm{AB}$ αντίστοιχα. Είναι επιπλέον $\mathrm{EZ} = \Delta \mathrm{Z} = 1m$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[line width=1.6pt] (-2, 2) -- (2, 2 ) -- (2, -2) -- (-2, -2) -- cycle; \draw[dashed](-1, -1) -- (-1, -2); \draw[fill=gray] (-2, 0) -- (-1,-1) -- (0, 2) -- cycle; \draw (-2, 2) node[above]{A}; \draw (2, 2) node[above]{B}; \draw(2, -2) node[below]{\textgreek{Γ}}; \draw (-2, -2) node[below]{\textgreek{Δ}}; \draw (0, 2) node[above]{N}; \draw (-2, 0) node[left]{M}; \draw (-1, -2) node[below]{Z}; \draw (-1, -1) node[right]{E}; \draw (-1.7,-0.3) -- (-1.4,0) -- (-1.7,0.3) -- (-2,0) -- cycle; \draw (-1, -1.5) node[right]{1m}; \draw (-1.5, -2) node[below]{1m}; \draw (2, 0) node[right]{4m}; \end{tikzpicture}}$

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου $\mathrm{MNE}$ .

Να βρεθεί η πλευρά $\mathrm{ME}$ .

Να βρεθεί η πλευρά $\mathrm{NE}$ .

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\Gamma \mathrm{NE}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Γειά σου Τόλη με τα ωραία σου!

ι. Το

είναι το κέντρο του μικρού τετραγώνου AMON

άρα

.

Το εμβαδόν που θέλω είναι διπλάσιο του εμβαδού , $T = \left( {KEN} \right) = \dfrac{{KE \cdot LN}}{2} = \dfrac{{2 \cdot 1}}{2} = 1$ , Δηλαδή $\left( {MEN} \right) = 2$ .
ι ι. η πλευρά

έχει μήκος το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου πλευράς

και άρα , $ME = \sqrt 2$

: Εμβαδόν και Πυθαγόρειο.png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 1025 φορές

ι ι ι . Από το τρίγωνο LEN

και το Π. Θ. έχω : $EN = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10}$ .

i v. Τα ορθογώνια τρίγωνα , $LEN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QCE$ έχουν τις κάθετες πλευρές τους μια προς μια ίσες , άρα είναι ίσα , οπότε $EC = EN = \sqrt {10}$ .

Επειδή από το Π. Θ. στο $\vartriangle BNC$ είναι $N{C^2} = 4 + 16 = 20 = 10 + 10 = E{N^2} + E{C^2}$ το τρίγωνο NEC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

cool geometry · #4

Νίκο

, αλλά μπελαλίδικη λύση.

Εμβαδά και ... Πυθαγόρειο

Εμβαδά και ... Πυθαγόρειο

Re: Εμβαδά και ... Πυθαγόρειο

Re: Εμβαδά και ... Πυθαγόρειο

Re: Εμβαδά και ... Πυθαγόρειο

Μέλη σε σύνδεση