Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Ας συγκεντρώσουμε εδώ κάποια προβλήματα που λύνονται με τη βοήθεια εξίσωσης πρώτου βαθμού. Νομίζω πως θα είναι πολύ χρήσιμο για τους μικρότερους μαθητές που επισκέπτονται τη σελίδα μας. Ας κάνω την αρχή με ένα πρόβλημα με ηλικίες:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Η ηλικία μου είναι εντεκαπλάσια της ηλικίας της κόρης μου. Σε χρόνια η ηλικία μου θα γίνει πενταπλάσια της ηλικίας της κόρης μου. Ποια είναι η σημερινή ηλικία μου και ποια της κόρης μου;

[raf616]

Ας συγκεντρώσουμε εδώ κάποια προβλήματα που λύνονται με τη βοήθεια εξίσωσης πρώτου βαθμού. Νομίζω πως θα είναι πολύ χρήσιμο για τους μικρότερους μαθητές που επισκέπτονται τη σελίδα μας. Ας κάνω την αρχή με ένα πρόβλημα με ηλικίες:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Η ηλικία μου είναι εντεκαπλάσια της ηλικίας της κόρης μου. Σε χρόνια η ηλικία μου θα γίνει πενταπλάσια της ηλικίας της κόρης μου. Ποια είναι η σημερινή ηλικία μου και ποια της κόρης μου;

Πολύ ωραία πρωτοβουλία, που θα βοηθήσει αρκετά μικρούς μαθητές... Εγώ θα προσπαθήσω να βοηθήσω όσο μπορώ...

Έστω η ηλικία της κόρης. Τότε η ηλικία του πατέρα θα είναι .

Σε χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι , ενώ της κόρης . Σχηματίζουμε την εξίσωση:



Άρα, η ηλικία της κόρης είναι και του πατέρα .

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Θα συμφωνήσω και εγώ με την πρωτοβουλία του Παύλου. Είναι κάτι που θα φανεί χρήσιμο στους μαθητές της Β Γυμνασίου, ειδικά άυτήν την περίοδο όπου γίνονται τα προβλήματα που λύνονται με εξισώσεις.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Ένας μαθητής διαγωνίσθηκε σε ένα τεστ, που περιείχε ερωτήσεις του τύπου ΣΩΣΤΟ -ΛΑΘΟΣ. Ο μαθητής αυτός απάντησε σε όλες τις ερωτήσεις. Αν από κάθε σωστή απάντηση κέρδιζε μονάδες, ενώ από κάθε λάθος απάντηση
έχανε μονάδες και αν ο βαθμός που πήρε ήταν , να βρείτε σε πόσες ερωτήσεις έδωσε την σωστή απάντηση.

[kostas_zervos]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Ένα ξενοδοχείο έχει συνολικά δίκλινα και τρίκλινα δωμάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα δωμάτια και πόσα τα τρίκλινα αν σε αυτά υπάρχουν συνολικά κρεβάτια;

[raf616]

Θα συμφωνήσω και εγώ με την πρωτοβουλία του Παύλου. Είναι κάτι που θα φανεί χρήσιμο στους μαθητές της Β Γυμνασίου, ειδικά άυτήν την περίοδο όπου γίνονται τα προβλήματα που λύνονται με εξισώσεις.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Ένας μαθητής διαγωνίσθηκε σε ένα τεστ, που περιείχε ερωτήσεις του τύπου ΣΩΣΤΟ -ΛΑΘΟΣ. Ο μαθητής αυτός απάντησε σε όλες τις ερωτήσεις. Αν από κάθε σωστή απάντηση κέρδιζε μονάδες, ενώ από κάθε λάθος απάντηση
έχανε μονάδες και αν ο βαθμός που πήρε ήταν , να βρείτε σε πόσες ερωτήσεις έδωσε την σωστή απάντηση.

Αν οι σωστές απαντήσεις, τότε οι λανθασμένες θα είναι . Άρα:



Επομένως, σωστή απάντηση έδωσε σε ερωτήσεις.

[raf616]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Ένα ξενοδοχείο έχει συνολικά δίκλινα και τρίκλινα δωμάτια. Πόσα είναι τα δίκλινα δωμάτια και πόσα τα τρίκλινα αν σε αυτά υπάρχουν συνολικά κρεβάτια;

Έστω τα δίκλινα δωμάτια. Τότε τα τρίκλινα θα είναι . Άρα:



Επομένως, τα δίκλινα είναι και τα τρίκλινα .

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Το επόμενο πρόβλημα είναι αφιερωμένο στον ταλαντούχο μαθητή raf616 (λίγο δυσκολούτσικη, παραλαγή του προβλήματος 2)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4

Ένας μαθητής διαγωνίστηκε σε ένα τεστ που είχε ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση κέρδιζε μονάδες, για κάθε
λάθος απάντηση έχανε μονάδες, ενώ ούτε κέρδιζε ούτε έχανε μονάδες, αν δεν απαντούσε σε κάποια ερώτηση.
Αν ο μαθητής πήρε βαθμό , να βρείτε σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά ο μαθητής και σε πόσες απάντησε λάθος.

[Doloros]

Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α 5

Μια βρύση , έστω , με σταθερή παροχή γεμίζει, από μόνη της, μια δεξαμενή σε ώρες.

Μια άλλη βρύση , έστω , κι αυτή σταθερής παροχής γεμίζει, από μόνη της, την ίδια δεξαμενή σε ώρες.

Ανοίγουμε την βρύση και μετά από ώρα ανοίγουμε και την βρύση .

Σε πόση συνολικά ώρα θα γεμίσει ή δεξαμενή ;

Νίκος

[Ηλιας Φραγκάκος]

Ένας μαθητής διαγωνίστηκε σε ένα τεστ που είχε ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση κέρδιζε μονάδες, για κάθε λάθος απάντηση έχανε μονάδες, ενώ ούτε κέρδιζε ούτε έχανε μονάδες, αν δεν απαντούσε σε κάποια ερώτηση. Αν ο μαθητής πήρε βαθμό , να βρείτε σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά ο μαθητής και σε πόσες απάντησε λάθος.

Από μικρός αυτά τα λύνω με τον εξής τρόπο:
Ας πούμε ότι τις έκανε όλες σωστές, τότε θα είχε πάρε πόντους. Εμείς λοιπόν, αφού χρειαζόμαστε και κάθε φορά που δίνει λάθος απάντηση αντί να κερδίζει χάνει , τότε η διαφορά είναι . Εφόσον άρα οι ερωτήσεις που απάντησε λάθος είναι
Υ.Γ Άμα το γράφω πιάνει μεγάλο χώρο αλλά είναι πολύ πιο γρήγορο με το μυαλό

[raf616]

Από μικρός αυτά τα λύνω με τον εξής τρόπο:
Ας πούμε ότι τις έκανε όλες σωστές τότε θα είχε πάρε πόντους. Εμείς λοιπόν αφού χρειαζόμαστε και κάθε φορά που δίνει λάθος απάντηση αντί να κερδίζει χάνει τότε η διαφορά είναι .Εφόσον άρα οι ερωτήσεις που απάντησε λάθος είναι
Υ.Γ Άμα το γράφω πιάνει μεγάλο χώρο αλλά είναι πολύ πιο γρήγορο με το μυαλό

Το πρόβλημα του κ. Δημήτρη λύνεται μ' αυτόν τον τρόπο αν δεχτούμε ότι απάντησε σε όλες... Για παράδειγμα, θα μπορούσε να έχει σωστές, λάθος και οου δεν απάντησε... Ακόμα δεν έχω βρει λύση, αλλά το ψάχνω...

[ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ]

Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α 6
Ένα γυμνάσιο έχει 350 μαθητές. Η Α τάξη έχει 20 μαθητές περισσότερους
απο την Β και η Γ έχει 32 λιγότερους απο την Α. Πόσους μαθητές έχει κάθε τάξη του γυμνασίου ;

[raf616]

Το επόμενο πρόβλημα είναι αφιερωμένο στον ταλαντούχο μαθητή raf616 (λίγο δυσκολούτσικη, παραλαγή του προβλήματος 2)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4

Ένας μαθητής διαγωνίστηκε σε ένα τεστ που είχε ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση κέρδιζε μονάδες, για κάθε
λάθος απάντηση έχανε μονάδες, ενώ ούτε κέρδιζε ούτε έχανε μονάδες, αν δεν απαντούσε σε κάποια ερώτηση.
Αν ο μαθητής πήρε βαθμό , να βρείτε σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά ο μαθητής και σε πόσες απάντησε λάθος.

Νομίζω πως έχουμε δύο λύσεις...

Για να έχουμε λύση πρέπει(αν οι σωστές απαντήσεις):



Θα πρέπει όμως οι σωστές απαντήσεις να είναι άρτιος και ακέραιος αριθμός.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

: Για , ο μαθητής έχει βαθμούς. Επομένως, θα πρέπει να έχει λάθος απάντηση και να μην

έχει απαντήσει , ώστε να ικανοποιούνται όλες οι συνθήκες της εκφώνησης.

: Για , ο μαθητής έχει . Επομένως, θα πρέπει να έχει λάθος και να μην έχει αφήσει καμία αναπάντητη.

: Για , ο μαθητής έχει . Επομένως, θα πρέπει να έχει λάθος για να συγκεντρώσει συνολικά βαθμούς. Όμως θα έχει

απαντήσει συνολικά σε ερωτήσεις, άτοπο σύμφωνα με την υπόθεση.

Συνοψίζοντας, μπορεί να έχει απαντήσει σωστά σε ερωτήσεις και λάθος ή σε σωστά και λάθος.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Από μικρός αυτά τα λύνω με τον εξής τρόπο:
Ας πούμε ότι τις έκανε όλες σωστές τότε θα είχε πάρε πόντους. Εμείς λοιπόν αφού χρειαζόμαστε και κάθε φορά που δίνει λάθος απάντηση αντί να κερδίζει χάνει τότε η διαφορά είναι .Εφόσον άρα οι ερωτήσεις που απάντησε λάθος είναι
Υ.Γ Άμα το γράφω πιάνει μεγάλο χώρο αλλά είναι πολύ πιο γρήγορο με το μυαλό

Το πρόβλημα του κ. Δημήτρη λύνεται μ' αυτόν τον τρόπο αν δεχτούμε ότι απάντησε σε όλες... Για παράδειγμα, θα μπορούσε να έχει σωστές, λάθος και οου δεν απάντησε... Ακόμα δεν έχω βρει λύση, αλλά το ψάχνω...

Εγώ φταίω Ραφαήλ, όπου ξέχασα να γράψω, ότι ο μαθητής έκανε και τις τρεις αναφερόμενες ενέργειες, δηλαδή σε κάποιες απάντησε σωστά, σε κάποιες λάθος και σε κάποιες δεν απάντησε καθόλου.

[raf616]

Το επόμενο πρόβλημα είναι αφιερωμένο στον ταλαντούχο μαθητή raf616 (λίγο δυσκολούτσικη, παραλαγή του προβλήματος 2)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4

Ένας μαθητής διαγωνίστηκε σε ένα τεστ που είχε ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση κέρδιζε μονάδες, για κάθε
λάθος απάντηση έχανε μονάδες, ενώ ούτε κέρδιζε ούτε έχανε μονάδες, αν δεν απαντούσε σε κάποια ερώτηση.
Αν ο μαθητής πήρε βαθμό , να βρείτε σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά ο μαθητής και σε πόσες απάντησε λάθος.

Νομίζω πως έχουμε δύο λύσεις...

Για να έχουμε λύση πρέπει(αν οι σωστές απαντήσεις):



Θα πρέπει όμως οι σωστές απαντήσεις να είναι άρτιος και ακέραιος αριθμός.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

: Για , ο μαθητής έχει βαθμούς. Επομένως, θα πρέπει να έχει λάθος απάντηση και να μην

έχει απαντήσει , ώστε να ικανοποιούνται όλες οι συνθήκες της εκφώνησης.

: Για , ο μαθητής έχει . Επομένως, θα πρέπει να έχει λάθος και να μην έχει αφήσει καμία αναπάντητη.

: Για , ο μαθητής έχει . Επομένως, θα πρέπει να έχει λάθος για να συγκεντρώσει συνολικά βαθμούς. Όμως θα έχει

απαντήσει συνολικά σε ερωτήσεις, άτοπο σύμφωνα με την υπόθεση.

Συνοψίζοντας, μπορεί να έχει απαντήσει σωστά σε ερωτήσεις και λάθος ή σε σωστά και λάθος.

Δηλαδή, στην παραπάνω λύση, ισχύει μόνο η πρώτη περίπτωση;

[raf616]

Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α 6
Ένα γυμνάσιο έχει 350 μαθητές. Η Α τάξη έχει 20 μαθητές περισσότερους
απο την Β και η Γ έχει 32 λιγότερους απο την Α. Πόσους μαθητές έχει κάθε τάξη του γυμνασίου ;

Έστω οι μαθητές της Β' Γυμνασίου. Τότε, η Α' θα έχει , ενώ η Γ΄ θα έχει . Άρα:

.

Άρα, η Β' θα έχει μαθητές, η Α' έχει και η Γ' έχει

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7

Αν οι μαθητές μιας τάξης καθίσουν ανά δύο στα θρανία, τότε μένουν όρθιοι μαθητές. Αν όμως καθίσουν ανά τρεις,
τότε μένουν κενά θρανία. Πόσοι είναι οι μαθητές και πόσα τα θρανία;

(Να λυθεί με εξίσωση)

[KARKAR]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 8

Ένας ποδηλάτης διανύει μιαν απόσταση μεταξύ δύο πόλεων σε ώρες . Αν αυξήσει την ταχύτητά του κατά ,

θα κερδίσει μισή ώρα . Πόσο θα διαρκέσει η διαδρομή αν οδηγήσει με ταχύτητα κατά μικρότερη της αρχικής ;

[ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 9
Σε μία εκδρομή έλαβαν μέρος 30 άτομα, άνδρες , γυναίκες και παιδιά.
Ο αριθμός των γυναικών είναι ίσος με τα του αριθμού των ανδρών ,
ενώ ο αριθμός των παιδιών είναι ίσος με το του αριθμού των ανδρών καιο γυναικών μαζί.Να βρείτε πόσοι άνδρες , γυναίκες και παιδιά συμετάσχουν στην εκδρομή.

[ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 10
Εάν στα ενός αριθμού προσθέσουμε τον αριθμό 2 , και στο αποτέλεσμα αυτό αφαιρέσουμε το του αριθμού αυξημένο κατα 6 βρίσκουμε το του αριθμού ελλατωμένο κατα 3. Να βρεθεί ο αριθμός αυτός εάν γνωρίζουμε οτι είναι πολλαπλάσιο του 9 και περιέχεται μεταξύ των 50 και 80.

[raf616]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 9
Σε μία εκδρομή έλαβαν μέρος 30 άτομα, άνδρες , γυναίκες και παιδιά.
Ο αριθμός των γυναικών είναι ίσος με τα του αριθμού των ανδρών ,
ενώ ο αριθμός των παιδιών είναι ίσος με το του αριθμού των ανδρών καιο γυναικών μαζί.Να βρείτε πόσοι άνδρες , γυναίκες και παιδιά συμετάσχουν στην εκδρομή.

Έστω ο αριθμός των ανδρών. Τότε, ο αριθμός των γυναικών θα είναι , ενώ των παιδιών:



Άρα:



Άρα, οι άντρες ήταν , οι γυναίκες και τα παιδιά .