Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Henri van Aubel · #1

Καλημέρα!

Αυτή η άσκηση έχει λυθεί από τους μαθητές μου στο φροντιστήριο (μαθητές που προετοιμάζω για διαγωνισμούς)

Την παραθέτω.

Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση $\displaystyle k+\frac{m+n}{mn+1}=\frac{10006}{3001}$

#2

Αν

τότε $\displaystyle k+1 = \frac{10006}{3001}$ που είναι αδύνατη. Ομοίως η εξίσωση είναι αδύνατη αν n=1

. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι m,n > 1

.

Έχουμε mn+1-(m+n) = (m-1)(n-1) > 0

. Άρα $\displaystyle 0 < \frac{m+n}{mn+1} < 1.$ Γράφοντας $\displaystyle \frac{10006}{3001} = 3 + \frac{1005}{3001}$ παίρνουμε k = 3

και $\displaystyle \frac{m+n}{mn+1} = \frac{1003}{3001}$

$\displaystyle \frac{m+n}{mn+1} = \frac{1003}{3001} > \frac{1}{3} \implies mn - 3m - 3n + 1 < 0 \implies (m-3)(n-3) < 8$

Αν $m,n \geqslant 6$ καταλήγουμε σε άτοπο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας $m \geqslant n$ , οπότε $n \leqslant 5$ .

Αν n=2

τότε $\displaystyle \frac{m+2}{2m+1} =\frac{1003}{3001} \implies 995m + 4999 = 0,$ άτοπο
Αν n=3

τότε $\displaystyle \frac{m+3}{3m+1} =\frac{1003}{3001} \implies 8m = 8000 \implies m=1000$ άτοπο
Αν n=4

τότε $\displaystyle \frac{m+4}{4m+1} =\frac{1003}{3001} \implies 1011m = 11001,$ άτοπο
Αν n=5

τότε $\displaystyle \frac{m+5}{5m+1} =\frac{1003}{3001} \implies 2014m = 14002,$ άτοπο

Άρα μόνες λύσεις οι (k,m,n) = (3,1000,3)

και η συμμετρική της (3,3,1000)

.

Henri van Aubel · #3

Καλησπέρα!

Αυτή ακριβώς είναι η λύση που είχα κατά νου και ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το θέμα που πρότεινα, είναι μεγάλη μου τιμή!!

Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Re: Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Re: Εξίσωση στους θετικούς ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση