Ποιο έτος

#1

Να βρείτε ποια πρωτοχρονιά θα γιορτάσετε το έτος εκείνο που θα είναι πολλαπλασιο του

, ενώ αν το διαιρέσουμε

με τους αριθμούς

,

και

θα αφήνει υπόλοιπο

,

, και

αντίστοιχα.

kfd · #2

Αν ν το έτος ισχύουν:
$\nu +2=5x\Rightarrow \nu +1=5x-1\Rightarrow \nu +1=6x-x-1\Rightarrow x+1=6\kappa \Rightarrow x=6\kappa -1$ αφού ο ν+1 είναι πολλαπλάσιο του 2 και του 3, άρα και του 6.
Άρα $\nu +2=5\left ( 6\kappa -1 \right )=30\kappa -5\Rightarrow \nu =30\kappa -7$ (1).
Ο ν είναι πολλαπλάσιο του 7, άρα $\nu=28\kappa +2\kappa -7$ , που σημαίνει ότι ο $2\kappa$ πολλαπλάσιο του 7.
Αυτό συμβαίνει για κ πολλαπλάσιο του 7 και η (1) γίνεται $\nu =210\tau -7.$
Για $\tau =10\Rightarrow \nu =2093$ που είναι το ζητούμενο έτος.

#3

Ας δούμε και έναν ακόμα τρόπο:

Αν $\displaystyle{n}$ είναι ο αριθμός που ζητάμε, τότε έχουμε (από την ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ)

$\displaystyle{n=7k_1}$
$\displaystyle{n=2k_2 +1}$
$\displaystyle{n=3k_3 +2}$
$\displaystyle{n=5k_4 +3}$

με $\displaystyle{k}$ ακέραιο.

Άρα:

$\displaystyle{n+7 =7k_1 +7 = 7(k_1 +1)}$
$\displaystyle{n+7 =2k_2 +8 = 2(k_2 +4)}$
$\displaystyle{n+7 =3k_3 +9 = 3(k_3 +3)}$
$\displaystyle{n+7 =5k_4 +10 = 5(k_4 +2)}$

Άρα ο $\displaystyle{n+7}$ είναι πολλαπλάσιο των αριθμών $\displaystyle{2 , 3 , 5 , 7}$ , άρα θα είναι και πολλαπλάσιο του Ε.Κ.Π των αριθμών αυτών, δηλαδή
του $\displaystyle{2.3.5.7}$ , (αφού οι αριθμοί $\displaystyle{2 ,3 , 5 , 7}$ είναι πρώτοι). Άρα ο $\displaystyle{n+7}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{210}$ και συνεπώς θα πρέπει:
$\displaystyle{ n+7 = 210.k }$ , με $\displaystyle{k}$ ακέραιο.

Με βάση το πρόβλημα, θέλουμε $\displaystyle{n+7 \geq 2022}$ , δηλαδή $\displaystyle{210.k \geq 2022}$ , άρα $\displaystyle{k\geq 9,6...}$ . Δηλαδή $\displaystyle{k=10,11,12,...}$

Για $\displaystyle{k=10}$ , βρίσκουμε $\displaystyle{n+7 =10.210}$ και άρα $\displaystyle{n=2093}$ . Για $\displaystyle{k=11}$ και πάνω, βρίσκουμε $\displaystyle{n=11.210 -7 = 20303}$ και πάνω,
άρα δεν θα υπάρχει κανείς μας για να γιορτάσει εκείνα τα έτη.

Συνεπώς η χρονιά που ζητάμε να γιορτάσουμε είναι το έτος $\displaystyle{2093}$ , (όπου αρκετοί από τους σημερινούς νέους μας θα μπορέσουν να το γιορτάσουν, έστω και ως ... γεροντάκια)

Ποιο έτος

Ποιο έτος

Re: Ποιο έτος

Re: Ποιο έτος

Μέλη σε σύνδεση