Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

#1

Έστω το ύψος

και η διάμεσος

ενός τριγώνου $AB\Gamma$ με

$\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{\Gamma}$ .

Αν επιπλέον ισχύει

$B\widehat{A}H=M\widehat{A}\Gamma$

τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο.

Henri van Aubel · #2

Έχουμε ότι το ύψος

είναι και συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνό μας, οπότε $\displaystyle \frac{BH}{HC}=\frac{c^{2}}{b^{2}}.$

Όμως $\displaystyle \left\{\begin{matrix} BH^{2}-HC^{2}=c^{2}-b^{2} & & \\ BH+HC=a & & \end{matrix}\right.\Rightarrow BH=\frac{c^{2}-b^{2}+a^{2}}{2a},CH=\frac{b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}.$

Επομένως $\displaystyle \frac{BH}{HC}=\frac{c^{2}-b^{2}+a^{2}}{b^{2}-c^{2}+a^{2}}=\frac{c^{2}}{b^{2}}\Leftrightarrow a^{2}c^{2}-c^{4}=a^{2}b^{2}-b^{4}$

Θέτω $c^{2}=x$ και έχω $x^{2}-a^{2}x-\left ( b^{4}-a^{2}b^{2} \right )=0$

$D=a^{4}+4\left ( b^{4}-a^{2} b^{2}\right )=\left ( a^{2}-2b^{2} \right )^{2}$

Αν $\displaystyle x=\frac{a^{2}-\left ( a^{2}-2b^{2} \right )}{2}=b^{2}=c^{2}$ άτοπο άρα $\displaystyle x=\frac{a^{2}+\left ( a^{2} -2b^{2}\right )}{2}=a^{2}-b^{2}=c^{2}\Leftrightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}$ και από αντίστροφο ΠΘ έπεται ότι $\angle A=90^\circ.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Από την $B\widehat{A}H=M\widehat{A}\Gamma$ προκύπτει ότι το περίκεντρο του τριγώνου βρίσκεται στην

.
Αρα είναι το

.

Henri van Aubel · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 02, 2023 8:04 pm
Από την $B\widehat{A}H=M\widehat{A}\Gamma$ προκύπτει ότι το περίκεντρο του τριγώνου βρίσκεται στην .
Αρα είναι το .

Τόσο απλά !

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 02, 2023 8:04 pm
Από την $B\widehat{A}H=M\widehat{A}\Gamma$ προκύπτει ότι το περίκεντρο του τριγώνου βρίσκεται στην .
Αρα είναι το .

Σταύρο εγώ τουλάχιστον δε μπορώ να σκεφτώ το πως"προκύπτει". Επειδή θα ήθελα οι απαντήσεις να είναι ξεκάθαρες
σου είναι εύκολο να το εξηγήσεις περαιτέρω; Βοηθάς και εμένα και τον οποιοδήποτε διαβάζει και θέλει να δει εκτενέστερα
τι συμβαίνει.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#6

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 03, 2023 12:05 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 02, 2023 8:04 pm
Από την $B\widehat{A}H=M\widehat{A}\Gamma$ προκύπτει ότι το περίκεντρο του τριγώνου βρίσκεται στην .
Αρα είναι το .
Σταύρο εγώ τουλάχιστον δε μπορώ να σκεφτώ το πως"προκύπτει". Επειδή θα ήθελα οι απαντήσεις να είναι ξεκάθαρες
σου είναι εύκολο να το εξηγήσεις περαιτέρω; Βοηθάς και εμένα και τον οποιοδήποτε διαβάζει και θέλει να δει εκτενέστερα
τι συμβαίνει.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Χρήστο ,

Το κέντρο του κύκλου ( όπως αναφέρει ο Σταύρος ) βρίσκεται επι της διαμέσου ( απο την ισογωνιοτητα ) αλλα και προφανώς επι της μέσο κάθετου της πλευράς

που το μονο κοινό σημείο τους ( αφού δεν πρόκειται για ισοσκελες τρίγωνο ) ειναι το

#7

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 03, 2023 12:46 am

Χρήστο ,

Το κέντρο του κύκλου ( όπως αναφέρει ο Σταύρος ) βρίσκεται επι της διαμέσου ( απο την ισογωνιοτητα ) αλλα και προφανώς επι της μέσο κάθετου της πλευράς που το μονο κοινό σημείο τους ( αφού δεν πρόκειται για ισοσκελες τρίγωνο ) ειναι το

Γεια χαρά Στάθη! Στο "από την ισογωνιότητα" κολλάω. Πως προκύπτει ότι είναι επί της διαμέσου;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#8

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 03, 2023 12:54 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 03, 2023 12:46 am

Χρήστο ,

Το κέντρο του κύκλου ( όπως αναφέρει ο Σταύρος ) βρίσκεται επι της διαμέσου ( απο την ισογωνιοτητα ) αλλα και προφανώς επι της μέσο κάθετου της πλευράς που το μονο κοινό σημείο τους ( αφού δεν πρόκειται για ισοσκελες τρίγωνο ) ειναι το
Γεια χαρά Στάθη! Στο "από την ισογωνιότητα" κολλάω. Πως προκύπτει ότι είναι επί της διαμέσου;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Σε καθε τρίγωνο το ύψος και η διάμετρος του περίκυκλου του απο την ίδια κορυφή ειναι ισογώνιες ( σχηματίζουν ίσες γωνιές ) ως προς τις πλευρές της κορυφής αυτής ( ειναι γνωστή πρόταση εύκολα αποδείξη ) . Φαντάσου αν

ειναι το αντιδιαμετρικο του

τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ABH

(απο το ύψος ) και AA'C

(απο την διάμετρο ) έχουν <ABC=<AA'C

ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο

που δεν περιέχει το

και συνεπώς ειναι όμοια

Henri van Aubel · #9

Και λίγο πιο απλά: Χρήστο, αν

το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ , τότε $\angle QAC=90^\circ-\angle B=\angle BAH=\angle MAC\Rightarrow Q\in AM$ κι επειδή $BM=MC\Rightarrow Q\equiv M$

S.E.Louridas · #10

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 02, 2023 7:22 pm
Έστω το ύψος και η διάμεσος ενός τριγώνου $AB\Gamma$ με $\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{\Gamma}$ .
Αν επιπλέον ισχύει $B\widehat{A}H=M\widehat{A}\Gamma$ τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο.

Ας δούμε και αυτό:
Αν (Me)

η μεσοκάθετη της πλευράς

και $T \equiv BA \cap Me,$ τότε εύκολα παίρνουμε $\angle MAC = \angle BAH = \angle BTM = \angle MTC \Rightarrow \angle CAT = {90^ \circ } \Rightarrow \angle A= {90^ \circ },$
από τα ομοκυκλικά πλέον σημεία A, M, C, T.

: hg.png (41.11 KiB) Προβλήθηκε 1801 φορές

#11

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 02, 2023 7:22 pm
Έστω το ύψος και η διάμεσος ενός τριγώνου $AB\Gamma$ με

$\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{\Gamma}$ .

Αν επιπλέον ισχύει

$B\widehat{A}H=M\widehat{A}\Gamma$

τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο.

Αλλιώς. Η διχοτόμος της $B\widehat AC$ διχοτομεί και την $H\widehat AM,$ ιδιότητα που ισχύει μόνο αν $B\widehat AC=90^\circ.$

#12

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 03, 2023 7:19 am
Και λίγο πιο απλά: Χρήστο, αν το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ , τότε $\angle QAC=90^\circ-\angle B=\angle BAH=\angle MAC\Rightarrow Q\in AM$ κι επειδή $BM=MC\Rightarrow Q\equiv M$

Ευχαριστώ πάρα πολύ! Με τη βοήθεια ενός σχήματος κατανόησα το επιχείρημα. Δεν το γνώριζα.
Ευχαριστώ όλους για τις πολλαπλές προσεγγίσεις.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #13

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 02, 2023 7:22 pm
Έστω το ύψος και η διάμεσος ενός τριγώνου $AB\Gamma$ με

$\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{\Gamma}$ .

Αν επιπλέον ισχύει

$B\widehat{A}H=M\widehat{A}\Gamma$

τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο.

Με θ.Steiner $\dfrac{BD.BM}{CM.CD}= \dfrac{c^2}{b^2} \Rightarrow \dfrac{BD}{CD}= \dfrac{c^2} {b^2} \Rightarrow \angle A=90^0$

: ορθογώνιο τρίγωνο.png (8.96 KiB) Προβλήθηκε 1736 φορές

#14

Καλημέρα σε όλους. Βλέποντας τις όμορφες και κομψές γεωμετρικές προσεγγίσεις, αναρωτήθηκα αν η (εκτός ύλης) Τριγωνομετρία έχει κάτι να συνεισφέρει. Τελικά καταλήγουμε σε μετρική σχέση της Γεωμετρίας.

: 04-08-2023 Γεωμετρία.jpg (26.38 KiB) Προβλήθηκε 1698 φορές

Έστω

, οπότε, αφού $\displaystyle \widehat B > \widehat C$ , θα είναι

μεταξύ

,

οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{{k - x}}{u},\;\;\varepsilon \varphi \varphi = \frac{x}{u},\;\;\;\varepsilon \varphi \left( {\varphi + \theta } \right) = \frac{{k + x}}{u}$

Ισχύει $\displaystyle \varepsilon \varphi \left( {\theta + \varphi } \right) = \frac{{\varepsilon \varphi \theta + \varepsilon \varphi \varphi }}{{1 - \varepsilon \varphi \theta \cdot \varepsilon \varphi \varphi }} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{k + x}}{u} = \frac{{ku}}{{{u^2} - \left( {k - x} \right)x}} \Leftrightarrow {u^2} = \left( {k - x} \right)\left( {k + x} \right) \Leftrightarrow A{H^2} = BH \cdot HC \Leftrightarrow \widehat A = 90^\circ$ .

Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση