Ολίγον τριγωνομετρία με ... χρυσό λόγο

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\varphi$ ο χρυσός λόγος. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle 4 \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi^3}} - \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi^6 - 1}} = \frac{\pi}{2}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 04, 2023 11:25 am
Έστω $\varphi$ ο χρυσός λόγος. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle 4 \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi^3}} - \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi^6 - 1}} = \frac{\pi}{2}$

Μιας και την βρήκα αναπάντητη θα προσπαθήσω χωρίς να γράψω όλες τις πράξεις.
Αρκεί να δείξω ότι: $\displaystyle 4 \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi^3}} = \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi^6 - 1}} + \frac{\pi}{2}$ Αν x=RHS

τότε έχω: $tanx=-cot(arctan\frac{1}{\sqrt{\phi^6-1}})$
ή $tanx=-\sqrt{\phi^6-1}=-2\phi\sqrt\phi (1)$ , αφού
$\phi^2=\phi+1\Rightarrow \phi^3=\phi^2+\phi=2\phi+1\Rightarrow \phi^6=4\phi^2+4\phi+1\Rightarrow \phi^6-1=4\phi(\phi+1)=4\phi^3$ .

Τώρα έστω $y=LHS\Rightarrow tany=\tan(4\arctan{\frac{1}{\phi^3}})$

Με την βοήθεια του τύπου: $tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}$ έχουμε (μετά από τις πράξεις)

$tan4\theta=\frac{2tan2\theta}{1-tan^22\theta}=\frac{4tan\theta(1-tan^2\theta)}{(1-6tan^2\theta+tan^4\theta)}$

οπότε θέτοντας όπου $\theta \to y$ και κάνοντας τις πράξεις θα καταλήξουμε στο ότι:

$\tan\left( 4\arctan{\frac{1}{\phi^3}} \right)=-2\phi\sqrt{\phi} (2)$

Από τις (1)

και

έχουμε το επιθυμητόν.

Tolaso J Kos · #3

Δίνω και τη δική μου λύση...

Αφού $\varphi^2 = \varphi + 1$ έπεται ότι $\varphi^3 = \varphi^2 + \varphi = 2 \varphi + 1$ . Επιπλέον,

$\displaystyle \varphi^6 - 1 = \left ( \varphi^3 \right )^2 -1 = \left ( 2 \varphi + 1 \right )^2 -1 = 4\varphi^2 + 4 \varphi = 4 \varphi^3$
Χρησιμοποιώντας τη ταυτότητα $\displaystyle 2 \arctan x = \arctan \frac{2x}{1-x^2} \; ,\; x^2<1$ έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} 4 \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi^3}} - \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi^6 - 1}} &= 2 \cdot 2 \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi^3}} - \arctan \frac{1}{\sqrt{4 \varphi^3}} \\ &= 2 \arctan \sqrt{\varphi} - \arctan \frac{1}{2 \sqrt{\varphi^3}} \\ &= \arctan \sqrt{\varphi} + \arctan \sqrt{\varphi} - \arctan \frac{1}{2 \sqrt{\varphi^3}} \\ &= \arctan \sqrt{\varphi} + \arctan \frac{1}{\sqrt{\varphi}} \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned}}$
Στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήθηκε η ταυτότητα $\displaystyle \arctan \alpha + \arctan \beta = \arctan \frac{x+y}{1-xy} \;,\; xy<1$ .

Ολίγον τριγωνομετρία με ... χρυσό λόγο

Ολίγον τριγωνομετρία με ... χρυσό λόγο

Re: Ολίγον τριγωνομετρία με ... χρυσό λόγο

Re: Ολίγον τριγωνομετρία με ... χρυσό λόγο

Μέλη σε σύνδεση