Ταυτότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x \leq 1$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\arctan \left ( \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \right ) = \frac{\pi}{4}- \frac{\arccos x}{2}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 13, 2019 12:08 pm
Έστω $-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x \leq 1$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\arctan \left ( \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \right ) = \frac{\pi}{4}- \frac{\arccos x}{2}}$

Θέτουμε $x=\cos \theta$ (το $\theta$ υπάρχει και είναι μοναδικό με $0\le \theta \le \dfrac {3\pi}{4}$ ), οπότε

$\sqrt{1+x} = \sqrt{1+\cos \theta } = \sqrt{2 \cos ^2\dfrac {\theta}{2} } = \sqrt{2 } \cos \dfrac {\theta}{2} }$ (υπόψη το $\theta /2$ είναι στο πρώτο τεραρτημόριο). Επίσης

$\sqrt{1-x} = \sqrt{1-\cos \theta } = \sqrt{2 \sin ^2\dfrac {\theta}{2} } = \sqrt{2 } \sin \dfrac {\theta}{2} }$ . Άρα

$\displaystyle{ \dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} = \dfrac {\cos \dfrac {\theta}{2} - \sin \dfrac {\theta}{2} } {\cos \dfrac {\theta}{2} + \sin \dfrac {\theta}{2} } = \dfrac {1 - \tan \dfrac {\theta}{2} } {1+ \tan \dfrac {\theta}{2} } = \tan \left (\dfrac{\pi}{4}- \dfrac{\theta }{2} \right ) }$

και λοιπά.

Ταυτότητα

Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Μέλη σε σύνδεση