Γινόμενο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το γινόμενο: $\displaystyle{\displaystyle C=\prod_{r=1}^{7}\cos{\dfrac{r\pi}{15}}}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Να υπολογιστεί το γινόμενο: $\displaystyle{\displaystyle C=\prod_{r=1}^{7}\cos{\dfrac{r\pi}{15}}}$ .

$\displaystyle{\displaystyle C = \prod\limits_{r = 1}^7 {\cos \frac{{r\pi }}{{15}} = } \cos \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{{3\pi }}{{15}}\cos \frac{{4\pi }}{{15}}\cos \frac{{5\pi }}{{15}}\cos \frac{{6\pi }}{{15}}\cos \frac{{7\pi }}{{15}} = \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{{4\pi }}{{15}}\sin \frac{{6\pi }}{{15}}\sin \frac{{8\pi }}{{15}}\sin \frac{{10\pi }}{{15}}\sin \frac{{12\pi }}{{15}}\sin \frac{{14\pi }}{{15}}}}{{{2^7}\sin \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{{3\pi }}{{15}}sin\frac{{4\pi }}{{15}}\sin \frac{{5\pi }}{{15}}\sin \frac{{6\pi }}{{15}}\sin \frac{{7\pi }}{{15}}}} = \frac{1}{{{2^7}}} = \frac{1}{{128}}}$

chris_konst · #3

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο $\boxed{ \prod^{n-1}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{n }} = \frac{ \sin (\pi n/2) } {2^{n-1}}}$

Για n=15

είναι: $\displaystyle{ \prod^{14}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{15 }} = \frac{ \sin ( \frac{15}{2}\pi) } {2^{14}} \Leftrightarrow \boxed{ \left( \prod^{7}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{15 }} \right) \left( \prod^{14}_{r=8}{\cos \frac{r \pi}{15 }} \right) = - \frac{ 1 } {2^{14}}} \quad (1) }$

Όμως, $\displaystyle{\cos \frac{8\pi}{15}= \cos(\pi - \frac{7 \pi}{15}) = - \cos \frac{7 \pi}{15} }$ , $\displaystyle{\cos \frac{9\pi}{15}= - \cos \frac{6 \pi}{15} }$ ,
κλπ αντίστοιχα $\displaystyle{\cos \frac{14\pi}{15}= - \cos \frac{ \pi}{15} }$ , οπότε η (1)

γίνεται:

$\displaystyle{ \left( \prod^{7}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{15 }} \right) (-1)^7 \left( \prod^{7}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{15 }} \right) = - \frac{ 1 } {2^{14}}} \Leftrightarrow \boxed{ \prod^{7}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{15 }} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128} } }$

Γινόμενο

Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Re: Γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση