Γινόμενο

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5550
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:

Γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιούλ 10, 2015 8:48 pm

Να υπολογιστεί το γινόμενο: \displaystyle{\displaystyle C=\prod_{r=1}^{7}\cos{\dfrac{r\pi}{15}}}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6970
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Ιούλ 10, 2015 10:18 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Να υπολογιστεί το γινόμενο: \displaystyle{\displaystyle C=\prod_{r=1}^{7}\cos{\dfrac{r\pi}{15}}}.
\displaystyle{\displaystyle C = \prod\limits_{r = 1}^7 {\cos \frac{{r\pi }}{{15}} = } \cos \frac{\pi }{{15}}\cos \frac{{2\pi }}{{15}}\cos \frac{{3\pi }}{{15}}\cos \frac{{4\pi }}{{15}}\cos \frac{{5\pi }}{{15}}\cos \frac{{6\pi }}{{15}}\cos \frac{{7\pi }}{{15}} = \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{{4\pi }}{{15}}\sin \frac{{6\pi }}{{15}}\sin \frac{{8\pi }}{{15}}\sin \frac{{10\pi }}{{15}}\sin \frac{{12\pi }}{{15}}\sin \frac{{14\pi }}{{15}}}}{{{2^7}\sin \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{{3\pi }}{{15}}sin\frac{{4\pi }}{{15}}\sin \frac{{5\pi }}{{15}}\sin \frac{{6\pi }}{{15}}\sin \frac{{7\pi }}{{15}}}} = \frac{1}{{{2^7}}} = \frac{1}{{128}}}


Χρήστος Κυριαζής
chris_konst
Δημοσιεύσεις: 43
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:03 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Re: Γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_konst » Παρ Ιούλ 10, 2015 10:24 pm

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο \boxed{ \prod^{n-1}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{n }} = \frac{ \sin (\pi n/2) } {2^{n-1}}}

Για n=15 είναι: \displaystyle{ \prod^{14}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{15 }} = \frac{ \sin ( \frac{15}{2}\pi) } {2^{14}}   \Leftrightarrow    \boxed{ \left( \prod^{7}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{15 }} \right) \left( \prod^{14}_{r=8}{\cos \frac{r \pi}{15 }} \right) =   - \frac{ 1 } {2^{14}}}            \quad (1)   }

Όμως, \displaystyle{\cos \frac{8\pi}{15}=  \cos(\pi - \frac{7 \pi}{15}) = -   \cos \frac{7 \pi}{15}        }, \displaystyle{\cos \frac{9\pi}{15}=   -   \cos \frac{6 \pi}{15}        },
κλπ αντίστοιχα \displaystyle{\cos \frac{14\pi}{15}=   - \cos \frac{ \pi}{15}        }, οπότε η (1) γίνεται:

\displaystyle{  \left( \prod^{7}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{15 }} \right) (-1)^7 \left( \prod^{7}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{15 }} \right) =   - \frac{ 1 } {2^{14}}} \Leftrightarrow \boxed{ \prod^{7}_{r=1}{\cos \frac{r \pi}{15 }} = \frac{1}{2^7} =  \frac{1}{128} } }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες