μια διπλή ανισότητα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Έστω $\displaystyle{ f:\left[ {a,b} \right] \to R }$ συνεχής και αύξουσα συνάρτηση. Ορίζουμε $\displaystyle{ g:(a,b] \to R }$ και $\displaystyle{ h:[a,b) \to R }$ με $\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{{x - a}}\int_a^x {f(t)dt} }$ και $\displaystyle{ h(x) = \frac{1}{{b - x}}\int_x^b {f(t)dt} }$
α. Να δειθεί ότι οι $\displaystyle{ g,h }$ είναι αύξουσες.
β. Για κάθε $\displaystyle{ x \in (a,b) }$ , $\displaystyle{ \frac{1}{{x - a}}\int_a^x {f(t)dt} \le \frac{1}{{b - a}}\int_a^b {f(t)dt} \le \frac{1}{{b - x}}\int_x^b {f(t)dt} }$

γ. Να βρεθεί το $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[n]{e} + \sqrt[n]{{e^2 }} + ... + \sqrt[n]{{e^n }}}}{n} }$

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Έστω $\displaystyle{ f:\left[ {a,b} \right] \to R }$ συνεχής και αύξουσα συνάρτηση. Ορίζουμε $\displaystyle{ g:(a,b] \to R }$ και $\displaystyle{ h:[a,b) \to R }$ με $\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{{x - a}}\int_a^x {f(t)dt} }$ και $\displaystyle{ h(x) = \frac{1}{{b - x}}\int_x^b {f(t)dt} }$
α. Να δειθεί ότι οι $\displaystyle{ g,h }$ είναι αύξουσες.
β. Για κάθε $\displaystyle{ x \in (a,b) }$ , $\displaystyle{ \frac{1}{{x - a}}\int_a^x {f(t)dt} \le \frac{1}{{b - a}}\int_a^b {f(t)dt} \le \frac{1}{{b - x}}\int_x^b {f(t)dt} }$

γ. Να βρεθεί το $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt[n]{e} + \sqrt[n]{{e^2 }} + ... + \sqrt[n]{{e^n }}}}{n} }$

α) Αφού ή

είναι αύξουσα έχουμε $\displaystyle{f(t) \le f(x), \, \forall t\in (a, \, x]}$ άρα

$\displaystyle{ g'(x) = \frac {(x-a)f(x)- \int _a^xf(t) \, dt}{(x-a)^2} \ge \frac {(x-a)f(x)- f(x) \int _a^x 1 \, dt}{(x-a)^2}=0}$ .

Συνεπώς η

είναι αύξουσα. Όμοια η

β) Οι ανισότητες γράφονται $\displaystyle{g(x) \le g(b)=h(a)\le h(x)}$ , που ισχύουν από το α).

γ) Το ζητούμενο όριο, δηλαδή το $\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \frac {1}{n}\sum _{k=1}^n e^{k/n}}$ , είναι το όριο του αθροίσματος Riemann σε ισοδιαμέριση του $\displaystyle{\int _0^1 e^x \,dx = e-1}$ . Άρα ισούται με e-1

.

Φιλικά,

Μιχάλης

Garfield · #3

(a) Θα αποδείξουμε ότι η

είναι αύξουσα και με τον ίδιο ακριβώς τρόπο αποδυκνύεται και για την

.

Για κάθε $x \in (a,b)$ ισχύει ότι:

$\displaystyle{ g'(x) = -\frac{1}{ (x-a)^{2}} \int_{a}^{x} f(t) dt + \frac{ f(x)}{ x-a} = \frac{1}{ x-a} \left ( f(x) - \frac{ \int_{a}^{x} f(t) dt}{ x-a} \right ) \quad (\bigstar) }$ .

Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής όμως για την συνάρτηση $\displaystyle{ \int_{a}^{x} f(t) dt }$ στο διάστημα (a,x)

με

παίρνουμε ότι:

$\displaystyle{ \frac{ \int_{a}^{x} f(t) dt}{ x-a} = f(c_{x} ) \quad a< c_{x} < x <b }$

και επειδή τώρα η

είναι αύξουσα έχουμε ότι $\displaystyle{ f( c_{x} ) < f(x) }$ . Άρα η $(\bigstar)$ μας δίνει:

$\displaystyle{ g'(x)= \frac{1}{x-a} \left ( f(x) - f(c_{x}) \right) > 0 \quad \forall x \in (a,b) }$ .

(b) Από την μονοτονία των

και

παίρνουμε άμεσα ότι:

$\displaystyle{ g(x) \leq g(b) = h(a) \leq h(x) \quad \forall x \in (a,b) }$

(c) Το ζητούμενο όριο γράφεται

$\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty} \frac{1-0}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{ k/n} = \int_{0}^{1} e^{x} dx = e-1 }$ .

edit: Μόλις είδα ότι με "πρόλαβαν"...το αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης.

μια διπλή ανισότητα

μια διπλή ανισότητα

Re: μια διπλή ανισότητα

Re: μια διπλή ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση