Δεν υπάρχει. Αποδείξτε το!

#1

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow(0,+\infty)$
για την οποία να ισχύει: $f^{2}\left ( x \right )\ge f\left ( x+y \right )\left ( f\left ( x \right )+y \right ),$
για κάθε $x,y \in \left ( 0,+\infty \right )$ .

stranger · #2

ΛΑΘΟΣ

#3

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 30, 2020 10:24 pm
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\rightarrow(0,+\infty)$
για την οποία να ισχύει: $f^{2}\left ( x \right )\ge f\left ( x+y \right )\left ( f\left ( x \right )+y \right ),$
για κάθε $x,y \in \left ( 0,+\infty \right )$ .

H δοθείσα γράφεται

$\displaystyle{f(x)\dfrac {f(x)-f(x+y)}{y} \ge f(x+y)}$ . Παίρνοντας όριο $y\to 0+$ είναι $-f(x)f'(x) \ge f(x)$ και άρα $f'(x) \le -1$ (αφού f(x) >0

).

Ειδικά, για x>1

και κάποιο $\xi \in (1,x)$ έχουμε $f(x) = f(1) +(x-1)f'(\xi) \le f(1) -(x-1)$ που είναι αρνητικό για μεγάλα

. Άτοπο, αφού αφού το αριστερό μέλος ικανοποιεί f(x)>0

για όλα τα

.

#4

Ας δειχθεί ότι δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση ακόμη και αν δεν απαιτήσουμε την παραγωγισιμότητα.

Δεν υπάρχει. Αποδείξτε το!

Δεν υπάρχει. Αποδείξτε το!

Re: Δεν υπάρχει. Αποδείξτε το!

Re: Δεν υπάρχει. Αποδείξτε το!

Re: Δεν υπάρχει. Αποδείξτε το!

Μέλη σε σύνδεση