Η αντίστροφη πολυωνιμικής μη γραμμικής δεν είναι πολυωνυμική

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Με αφορμή το
viewtopic.php?f=27&t=67063
Εστω

$f(x)=a_{n}x^n+....+a_1x+a_0,a_n\neq 0,a_i\in \mathbb{R},n\geq 2$

Για $x_0 \in \mathbb{R}$ με $f'(x_0)\neq 0$

υπάρχουν $a,b \in \mathbb{R}$ ώστε a<x_0<b

και η

$f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$
να αντιστρέφεται.

Η αντίστροφη δεν είναι πολυωνυμική.

#2

Η ύπαρξη αντίστροφης σε μια περιοχή του x_0

είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος της αντίστροφης συνάρτησης αφού η

είναι συνεχής ως πολυωνυμική και μας δίνεται ότι $f'(x_0) \neq 0$ .

Το γεγονός ότι η $f^{-1}$ δεν είναι πολυωνυμική αποδεικνύεται και με την μέθοδο του Ορέστη και με την μέθοδο του Σταύρου. Ας δούμε ακόμη ένα τρόπο.

Αν $f^{-1}$ ήταν πολυωνυμική τότε θα ήταν και παραγωγίσιμη (το γνωρίζουμε και από το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης αλλά είπα να μην το χρησιμοποιήσω εδώ). Αφού $f^{-1}(f(x)) = x$ , τότε θα είχαμε $(f^{-1})'(f(x))f'(x) = 1$ . Το αριστερό μέλος είναι πολυώνυμο και αφού παίρνει την τιμή

σε διάστημα, τότε είναι σταθερό. Άρα σταθερό είναι και το f'(x)

, άτοπο αφού ο βαθμός του

είναι τουλάχιστον

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 05, 2020 4:14 pm
Η ύπαρξη αντίστροφης σε μια περιοχή του είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος της αντίστροφης συνάρτησης αφού η είναι συνεχής ως πολυωνυμική και μας δίνεται ότι $f'(x_0) \neq 0$ .

Το γεγονός ότι η $f^{-1}$ δεν είναι πολυωνυμική αποδεικνύεται και με την μέθοδο του Ορέστη και με την μέθοδο του Σταύρου. Ας δούμε ακόμη ένα τρόπο.

Αν $f^{-1}$ ήταν πολυωνυμική τότε θα ήταν και παραγωγίσιμη (το γνωρίζουμε και από το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης αλλά είπα να μην το χρησιμοποιήσω εδώ). Αφού $f^{-1}(f(x)) = x$ , τότε θα είχαμε $(f^{-1})'(f(x))f'(x) = 1$ . Το αριστερό μέλος είναι πολυώνυμο και αφού παίρνει την τιμή σε διάστημα, τότε είναι σταθερό. Άρα σταθερό είναι και το , άτοπο αφού ο βαθμός του είναι τουλάχιστον .

Ωραία.
Το ότι υπάρχει η αντίστροφη μπορεί να γίνει με ύλη Γ Λυκείου(αυτή που έχει γίνει).
Το αν υπάρχει τότε δεν είναι πολυωνυμική μπορεί να γίνει με ύλη Β Λυκείου.
Χρειάζεται και κάτι που δεν έχει το βιβλίο αλλά που μπορεί να αποδειχθεί με αυτά που λέει.
Το αφήνω.
Αν δεν γραφεί τέτοια λύση θα την γράψω.
Πολύ φοβάμαι ότι δεν θα προλάβω.

συμπλήρωμα 10-6-2020.
Εκείνο που χρειάζεται είναι ότι αν δύο πολυώνυμα παίρνουν τις ιδιες τιμές
σε ένα διάστημα ταυτίζονται.
Σαφώς η διαφορά τους έχει άπειρες ρίζες .
Αρκει λοιπόν να αποδειχθεί ότι το μόνο πολυώνυμο με άπειρες ρίζες
είναι το μηδενικό.
Τότε αν $f^{-1}(f(x)) = x$ σε ένα διάστημα και τα δύο είναι πολυώνυμα
θα βγάλει ότι και τα δύο είναι πρώτου βαθμού
που είναι ΑΤΟΠΟ.

Η αντίστροφη πολυωνιμικής μη γραμμικής δεν είναι πολυωνυμική

Η αντίστροφη πολυωνιμικής μη γραμμικής δεν είναι πολυωνυμική

Re: Η αντίστροφη πολυωνιμικής μη γραμμικής δεν είναι πολυωνυμική

Re: Η αντίστροφη πολυωνιμικής μη γραμμικής δεν είναι πολυωνυμική

Μέλη σε σύνδεση