Μια ακόμη παραμετρική εξίσωση...

#1

Για ποιες τιμές της παραμέτρου

η εξίσωση $x^{4}+2ax^{3}+x^{2}+2ax+1=0$
έχει δύο τουλάχιστον διακεκριμένες αρνητικές ρίζες.

#2

Απάντηση: Πρέπει $a>\dfrac{3}{4}$

Πρόκειται για αντίστροφη εξίσωση. Αν διαιρέσουμε με $x^2\neq 0$ (Το

δεν είναι λύση της εξίσωσης) και θέσουμε $x+\dfrac{1}{x}=u$ τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή u^2+2au-1=0

η οποία έχει πάντοτε

πραγματικές και άνισες λύσεις τις

$u=\sqrt{a^2+1}-a$ και $u=-\sqrt{a^2+1}-a$

Επειδή οι ρίζες θέλουμε να είναι διακεκριμένες και αρνητικές άρα $x+\dfrac{1}{x}<0$ και ως γνωστόν επειδή $x+\dfrac{1}{x}\leq -2$ και

$\sqrt{a^2+1}-a>-2$ για κάθε $a\in\mathbb{R}$ , άρα πρέπει $x+\dfrac{1}{x}=-a-\sqrt{a^2+1}$ . Όμως με σταθερό

, η εξίσωση $x+\dfrac{1}{x}=u$ γράφεται ισοδύναμα x^2-ux+1=0

με διακρίνουσα u^2-4

η οποία για u<-2

(αφού πρέπει u<0

) έχει

άνισες (και προφανώς αρνητικές) λύσεις.

Άρα τελικά η αρχική εξίσωση έχει

αρνητικές και άνισες λύσεις αν και μόνο αν $-a-\sqrt{a^2+1}<-2$ που δίνει $a>\dfrac{3}{4}$ .

Αλέξανδρος

Μια ακόμη παραμετρική εξίσωση...

Μια ακόμη παραμετρική εξίσωση...

Re: Μια ακόμη παραμετρική εξίσωση...

Μέλη σε σύνδεση