Ελάχιστη τιμή κλασματος

#1

Έστω τετράγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ . Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
$\displaystyle \frac{{{\rm O}{\rm A} + {\rm O}\Gamma }}{{{\rm O}{\rm B} + {\rm O}\Delta }}$ όπου $\displaystyle {\rm O}$ σημείο στο επίπεδο του $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2018 1:12 am
Έστω τετράγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ . Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
$\displaystyle \frac{{{\rm O}{\rm A} + {\rm O}\Gamma }}{{{\rm O}{\rm B} + {\rm O}\Delta }}$ όπου $\displaystyle {\rm O}$ σημείο στο επίπεδο του $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ .

Θα πάρουμε όσο το δυνατόν μικρότερο αριθμητή και μεγαλύτερο παρονομαστή.

Γράφω για ευκολία

αντί για $\Gamma$ και

αντί για $\Delta .$

Από τριγωνική ανισότητα $OA+OC\geq AC.$ Άρα ο μικρότερος αριθμητής επιτυγχάνεται για

σημείο της

.

Τώρα ο μέγιστος παρονομαστής επιτυγχάνεται όταν $O\equiv A$ ή $O\equiv C$ . Πράγματι, αν

είναι σημείο της

τότε ο παρονομαστής ελαχιστοποιείται

(όπως δείξαμε και με τον αριθμητή). Άρα το

πρέπει να είναι εκτός της

. Φέρουμε τώρα την

και παίρνουμε εκτός

της

εσωτερικό του τετραγώνου. Η μεγιστοποίηση είναι άμεση συνέπεια του παρακάτω (ii) (δες εικόνα σχολικό βιβλίο Γεωμετρία Α' Λυκείου).

Άρα ο ελάχιστος αριθμητής επιτυγχάνεται όταν

σημείο της

και ο μέγιστος παρονομαστής όταν $O\equiv A$ ή $O\equiv C$ .

Οι (1),(2)

ικανοποιούνται ταυτόχρονα όταν ικανοποιείται η (2)

. Τελικά η ελάχιστη τιμή, υποθέτωντας ότι το τετράγωνο έχει πλευρά

,

είναι $\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Edit: προσθήκη εικόνας και βελτίωση λύσης.

#3

Εάν

είναι το κέντρο του τετραγώνου τότε έχουμε:

$\begin{aligned}(OA+OC)^2 &\geq OA^2+OC^2 = 2OK^2+\dfrac{AC^2}{2} \\ &= 2OK^2+\dfrac{BD^2}{2} = OB^2+OD^2 \\ &\geq \dfrac{(OB+OD)^2}{2}\end{aligned}$

κι έτσι προκύπτει το ζητούμενο.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το σημείο

ταυτίζεται με το

ή το

(όπως φαίνεται και στην πρώτη ανισότητα παραπάνω).

Αλέξανδρος

S.E.Louridas · #4

Και τώρα ένα βασικό ερώτημα:
Αν αντί για τετράγωνο δινόταν ορθογώνιο το πρόβλημα θα ίσχυε;

Λάμπρος Κατσάπας · #5

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 30, 2018 4:44 pm
Και τώρα ένα βασικό ερώτημα:
Αν αντί για τετράγωνο δινόταν ορθογώνιο το πρόβλημα θα ίσχυε;

Το αποτέλεσμα πάλι θα ίσχυε σε οποιοδήποτε κυρτό τετράπλευρο μόνο που για τον παρονομαστή θα έπρεπε να ελέγξουμε μία εκ των δύο κορυφών για να δούμε που πετυχαίνουμε μέγιστο. Είναι φανερό από την απόδειξη που έδωσα.

Σημείωση: Όπως ενημερώθηκα το πρόβλημα είναι Ευκλείδης 1997.

S.E.Louridas · #6

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 30, 2018 4:52 pm
... Σημείωση: Όπως ενημερώθηκα το πρόβλημα είναι Ευκλείδης 1997.

Το γνωρίζω αφού το θέμα ήταν δικής μου εισήγησης, ως μέλους και θεματοδότη της επιτροπής διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε., και μάλιστα με ορθογώνιο. Όμως αποφασίστηκε να μπεί σε τετράγωνο. Η λύση που προτάθηκε ήταν με μετρική γεωμετρία με ταυτόχρονη εξέταση της γνώσης της $2{a^2} + 2{b^2} \geqslant {\left( {a + b} \right)^2} \geqslant {a^2} + {b^2},$ για τυχόντες πραγματικούς a,b,

πάνω στην οποία και στηρίχτηκε η λύση. Ταυτόχρονα για ενδεχομένως παρουσιαζόμενη μή μετρική λύση, πιθανό βαθμολογικό ζητούμενο ήταν να διακριθούν οι περιπτώσεις,
α) Το

να είναι εντός του τετραγώνου, ή επί της περιμέτρου και β) άν ήταν εκτός, να αποδεικνυόταν τότε ότι ο αντίστοιχος λόγος δεν υπερέβαινε τον ήδη υπολογισθέντα από την περίπτωση α) minimum.

Σχόλιο: Το εδώ ερώτημα το έθεσα επειδή μας παρακολουθούν και μαθητές.

#7

Για να είμαι ειλικρινής είχα δύο πηγές για το θέμα.
Η μια ήταν από ένα παλιό βιβλίο Αναλυτικής Γεωμετρίας του Δ.Κοντογιάννη "Διανυσματικός Λογισμός-Αναλυτική Γεωμετρία", τ.ΙΙ.
Στη σελίδα 104 γράφει (Προτάθηκε από τον συγγραφέα στο διαγωνισμό Ευκλείδη 1997)

S.E.Louridas · #8

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 02, 2019 3:14 pm
Για να είμαι ειλικρινής είχα δύο πηγές για το θέμα.
Η μια ήταν από ένα παλιό βιβλίο Αναλυτικής Γεωμετρίας του Δ.Κοντογιάννη "Διανυσματικός Λογισμός-Αναλυτική Γεωμετρία", τ.ΙΙ.
Στη σελίδα 104 γράφει (Προτάθηκε από τον συγγραφέα στο διαγωνισμό Ευκλείδη 1997)

Ακριβώς ήταν η εκδοχή για τετράγωνο από τον Δημήτρη Κοντογιάννη στην πρόταση μου για ορθογώνιο. Προφανώς και σεβάστηκα την πρόταση του Δημήτρη Κοντογιάννη (πραγματικός θρύλος τότε γαρ στους διαγωνισμούς ο Κοντογιάννης και αρκετά μεγαλύτερος ηλικιακά) αν και είχα την άποψη ότι με το τετράγωνο πιθανόν κάποιος εξεταζόμενος να εγκλωβιζόταν σε ειδικώτερες ιδιότητες του τετραγώνου.
Απλά επανέρχομαι για να αναφέρω ότι η ιδέα ήταν βασισμένη στο γνωστό θέμα: Για το τυχόν σημείο

του χώρου και για τυχόν ορθογώνιο ABCD

ισχύει ότι $OA^2+{OC^2}={OB^2}+{OD^2}$ . Αυτό μας πηγαίνει στο θέμα που είδαμε εδώ και που ισχύει στον χώρο με βάση τη πασίγνωστη ανισότητα που ήδη ανέφερα πιό πάνω και απλά προσαρμόστηκε καταρχάς στο ότι το

ανήκει στο επίπεδο του ABCD,

επειδή θέλαμε να μην εμπλακούν οι λύτες εκεί, δηλαδή στον χώρο R^3

.

(*) Χαίρομαι πραγματικά όταν παρεμβάσεις σαν εκείνη του Χρήστου μας "αναγκάζουν" να αναφερόμαστε στα γεγονότα που οδηγούν στη κατασκευή ενός προβλήματος. Για τούτο και στο βιβλίο που συνέγραψα με τον Μιχαήλ Θ. Ρασσιά από τις εκδόσεις Springer, εκτιμήθηκε ιδιαίτερα το μοναδικό γεγονός της παρουσίασης εκεί βήμα-βήμα, της κατασκευής του προβλήματος της Γεωμετρίας από εμένα, ως μία εκ των προτάσεων για τον διαγωνισμό ΙΜΟ 2001, που χαρακτηρίστηκε απόλυτα πρωτότυπο από τον γενικό συντονιστή της επιτροπής κ. Γκούτσμα και υπάρχει στην sort list της ΙΜΟ2001 που έγινε στην Αμερική. Τα ονόματα των εκάστοτε εισηγητών θεμάτων, υπάρχουν στο αντίστοιχο βιβλίο από τις διεθνείς εκδόσεις Springer. Το πρόβλημα αυτό ήταν για να μπεί ως έκτο στην Ολυμπιάδα αυτή, ... αλλά δυστυχώς ... τελευταία στιγμή ...

S.E.Louridas · #9

Επανέρχομαι για να πληροφορήσω την εδώ οικογένεια mathematica, ότι το πάλαι ποτέ (αναφέρομαι στην εποχή δηλαδή από 1997 και μετά) είχα δύο προσωπικές στήλες στον Ευκλείδη Β' για διαγωνιστικά Μαθηματικά, η μία ήταν: "Ολυμπιακές προσεγγίσεις" με αρκετά πρωτότυπα θέματα και η άλλη ήταν: "Το οδοιπορικό της κατασκευής ενός ... προβλήματος", όπου υπήρχαν επακριβώς τα βήματα κατασκευής ενός Γεωμετρικού προβλήματος αλλά και η ακριβής διαδικασία κατασκευής μίας προς απόδειξη ανισότητας, και τα δύο σε επίπεδο μαθηματικών διαγωνισμών. Η δεύτερη στήλη ("Το οδοιπορικό της κατασκευής ενός ... προβλήματος") δεν ολοκλήρωσε το οδοιπορικό της καθότι, ..., τότε, η πληθώρα της καθημερινής ύλης το "απαγόρευσε". Δυστυχώς δεν θυμάμαι ακριβώς τον α.α. των τευχών αυτών του ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'.

Ελάχιστη τιμή κλασματος

Ελάχιστη τιμή κλασματος

Re: Ελάχιστη τιμή κλασματος

Re: Ελάχιστη τιμή κλασματος

Re: Ελάχιστη τιμή κλασματος

Re: Ελάχιστη τιμή κλασματος

Re: Ελάχιστη τιμή κλασματος

Re: Ελάχιστη τιμή κλασματος

Re: Ελάχιστη τιμή κλασματος

Re: Ελάχιστη τιμή κλασματος

Μέλη σε σύνδεση