Κάθετα σε ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Κάθετα σε ορθογώνιο.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές

Κύκλος διερχόμενος από τις κορυφές B , C

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, τέμνει τις κάθετες πλευρές

AB , AC

στα σημεία S, P

αντίστοιχα . Σχεδιάζουμε το ορθογώνιου ASTP

. Δείξτε ότι : $\overrightarrow{AT}\perp \overrightarrow{BC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 27, 2026 5:39 pm
Κάθετα σε ορθογώνιο.pngΚύκλος διερχόμενος από τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει τις κάθετες πλευρές

στα σημεία αντίστοιχα . Σχεδιάζουμε το ορθογώνιου . Δείξτε ότι : $\overrightarrow{AT}\perp \overrightarrow{BC}$ .

.

: Κάθετα σε ορθ.png (21.1 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

.
Προεκτείνουμε την

μέχρι να τμήσει την

στο

. Έχουμε τότε

α) Από το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ASTP

είναι $\phi = \omega$ και β) από το εγγράψιμο CPSB

είναι $\omega = \psi$ . Άρα

$\theta + \phi = \theta + \omega = \theta + \psi = 90^o$ (διότι $TS\perp AB$ ).

Άρα από το τρίγωνο TDE

είναι $TD\perp DE$ , με άλλα λόγια $AD\perp BC$ , όπως θέλαμε.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 27, 2026 5:39 pm
Κάθετα σε ορθογώνιο.pngΚύκλος διερχόμενος από τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει τις κάθετες πλευρές

στα σημεία αντίστοιχα . Σχεδιάζουμε το ορθογώνιου . Δείξτε ότι : $\overrightarrow{AT}\perp \overrightarrow{BC}$ .

Για να τιμήσουμε το φάκελο.

: Κάθετα σε ορθογώνιο.png (12.19 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές

$\displaystyle \overrightarrow {AT} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AP} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AB}$

λόγω της καθετότητας των AS, AC

και

Αλλά, $\displaystyle \overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {AP} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| - \left| {\overrightarrow {AS} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 0$ (από δύναμη σημείου)

Άρα, $\boxed{\overrightarrow {AT} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AT} \bot \overrightarrow {BC}}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 27, 2026 5:39 pm
Κάθετα σε ορθογώνιο.pngΚύκλος διερχόμενος από τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει τις κάθετες πλευρές

στα σημεία αντίστοιχα . Σχεδιάζουμε το ορθογώνιου . Δείξτε ότι : $\overrightarrow{AT}\perp \overrightarrow{BC}$ .

Το τετράπλευρο

CPSB

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και

$\hat{SPT}=\hat{PTA}=\hat{TAS}=\hat{PSA}=\omega ,\hat{APS}=90-\omega =\hat{SBM}=\hat{JTM}$

Οπότε το τετράπλευρο

MTSB

είναι εγγράψιμο σε κύκλο και

$\hat{TMC}=90^{0}$

KARKAR · #5

Μία ακόμη στο πνεύμα του φακέλου :

: Κάθετα σε ορθογώνιο - λύση.png (12.66 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

...Συνεπώς : $-\dfrac{yb}{xc}=-1$ δηλαδή : $\lambda_{\overrightarrow{AT}}\cdot\lambda_{\overrightarrow{BC}}=-1$

Κάθετα σε ορθογώνιο

Κάθετα σε ορθογώνιο

Re: Κάθετα σε ορθογώνιο

Re: Κάθετα σε ορθογώνιο

Re: Κάθετα σε ορθογώνιο

Re: Κάθετα σε ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση