Κάθετο και διπλάσιο

KARKAR · #1

: Κάθετο και διπλάσιο.png (7.85 KiB) Προβλήθηκε 1017 φορές

$\bigstar$ Σημείο

κινείται στον ημιάξονα

. Συνδέουμε το

με το

και φέρουμε : $ST \perp \varepsilon$ . Για ποια θέση του

, προκύπτει : ST=2SA ;

.

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #2

Επειδή το σημείο

βρίσκεται επί της ευθείας $y=\frac{x}{2}$ μπορούμε να θεωρήσουμε πως οι συντεταγμένες του

είναι: $T(x_0,\frac{x_0}{2}), x_0\in \mathbb{R}$ . Έστω, παράλληλα, $S(x_1,0), x_1 \in \mathbb{R}$ οι συντεταγμένες του

. Έστω, τώρα, $\delta$ ο φορέας του

με $\delta : y=mx+b, m,b \in \mathbb{R}$ . Επειδή η ευθεία $\delta$ διέρχεται από τα σημεία

και

, θα ισχύει: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\Leftrightarrow m=\frac{\frac{x_0}{2}}{x_0-x_1}$ .

Είναι, όμως, $\delta \perp \varepsilon$ . Συνεπώς: $\frac{m}{2}=-1\Leftrightarrow m=-2\Leftrightarrow \frac{\frac{x_0}{2}}{x_0-x_1}=-2\Leftrightarrow \frac{x_0}{x_0-x_1}=-4\Leftrightarrow x_0=-4(x_0-x_1)\Leftrightarrow 5x_0=4x_1 \Leftrightarrow x_0=\frac{4x_1}{5}(1)$ .

Ισχύει: $ST=\sqrt{(\frac{5x_0}{4}-x_0)^2+(\frac{x_0}{2})^2}\Leftrightarrow ST=\sqrt{\frac{x^2_0}{16}+\frac{x^2_0}{4}} \Leftrightarrow ST=\sqrt{\frac{5x^2_0}{16}}$

Αντίστοιχα: $SA=\sqrt{(\frac{5x_0}{4}-11)^2+4}$ .

Επομένως, πρέπει: $ST=2SA\Leftrightarrow \sqrt{\frac{5x^2_0}{16}}=2\sqrt{(\frac{5x_0}{4}-11)^2+4}$ .

Η παραπάνω έχει δύο ρίζες: $x_0=\frac{200}{19}\vee x_0=8$

Τώρα, από την (1)

παίρνουμε πως: $x_1= \frac{250}{19}\vee x_1=10$ .

Τελικά: $S(\frac{250}{19},0)\vee S(10,0)$

Άρης Μερσιέ · #3

Εφόσον η άσκηση βρίσκεται στον συγκεκριμένο φάκελο, θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε και τον τύπο της απόστασης σημείου από ευθεία για τον υπολογισμό του

συναρτήσει του x_0

.

#4

Έχω , $\varepsilon \to x - 2y = 0\,\,$ . Έστω δε $S\left( {s,0} \right)$ .

Είναι : $\overrightarrow {SA} = \left( {11 - s,2} \right) \Rightarrow SA = \sqrt {{{\left( {11 - s} \right)}^2} + 4} \,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Επίσης η απόσταση του

από την ευθεία $\varepsilon$ είναι : $\boxed{d = d(S,\varepsilon ) = \frac{{\left| {s - 0 \cdot y} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| s \right|}}{{\sqrt 5 }}}$ .

Επειδή $d = 2SA \Rightarrow {d^2} = 4S{A^2} \Rightarrow 5{d^2} = 20S{A^2}$ , προκύπτει η εξίσωση :

${s^2} = 20{\left( {11 - s} \right)^2} + 80 \Rightarrow 19{s^2} - 440s + 2500 = 0$ .

: Κάθετο και διπλάσιο.png (13.18 KiB) Προβλήθηκε 971 φορές

Προφανής ρίζα, $\boxed{{s_1} = 10}$ .

Από τους τύπους του Vieta

προκύπτει για την άλλη ρίζα , έστω ${s_2}$ , ότι:

$10{s_2} = \dfrac{{2500}}{{19}} \Rightarrow \boxed{{s_2} = \dfrac{{250}}{{19}}}$ .

Και οι δύο ρίζες είναι δεκτές συνεπώς υπάρχουν δύο θέσεις του σημείου

Κάθετο και διπλάσιο

Κάθετο και διπλάσιο

Re: Κάθετο και διπλάσιο

Re: Κάθετο και διπλάσιο

Re: Κάθετο και διπλάσιο

Μέλη σε σύνδεση