Mix 26

erxmer · #1

Αν $\displaystyle{|\vec{a}|=\sqrt{2}, |\vec{b}|=\sqrt{3}, |\vec{c}|=\sqrt{5}}$ και $\displaystyle{\vec{a}+2 \vec{b}=3 \vec{c}}$ να επιλυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 3\left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x-6\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=2\vec{a} \cdot \vec{b}\\ \\ \left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x+2\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=\vec{a} \cdot \vec{b} \end{matrix}\right.}$

Σταμ. Γλάρος · #2

erxmer έγραψε:Αν $\displaystyle{|\vec{a}|=\sqrt{2}, |\vec{b}|=\sqrt{3}, |\vec{c}|=\sqrt{5}}$ και $\displaystyle{\vec{a}+2 \vec{b}=3 \vec{c}}$ να επιλυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 3\left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x-6\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=2\vec{a} \cdot \vec{b}\\ \\ \left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x+2\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=\vec{a} \cdot \vec{b} \end{matrix}\right.}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Είναι $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 3\left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x-6\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=2\vec{a} \cdot \vec{b}\\ \\ \left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x+2\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=\vec{a} \cdot \vec{b} \end{matrix}\right.}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 3\left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x-6\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=2\vec{a} \cdot \vec{b} (1)\\ \\ 3\left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x+6\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=3\vec{a} \cdot \vec{b} (2) \end{matrix}\right.}$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε: $6(\vec{a}\cdot \vec{c})\cdot x= 5(\vec{a}\cdot \vec{b})$ \displaystyle{\Leftrightarrow

x= \dfrac{5(\vec{a}\cdot \vec{b})}{6(\vec{a}\cdot \vec{c})} Επίσης έχουμε:

\displaystyle{\left\{\begin{matrix}
3\left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x-6\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=2\vec{a} \cdot \vec{b}\\
\\
\left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x+2\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=\vec{a} \cdot \vec{b}
\end{matrix}\right.}

\Leftrightarrow

\displaystyle{\left\{\begin{matrix}
3\left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x-6\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=2\vec{a} \cdot \vec{b} (3)\\
\\
-3\left ( \vec{a} \cdot \vec{c} \right )x-6\left ( \vec{b} \cdot \vec{c} \right )y=-3\vec{a} \cdot \vec{b} (4)
\end{matrix}\right.} Προσθέτοντας κατά μέλη τις (3) και (4) έχουμε:

-12(\vec{b}\cdot \vec{c})\cdot x= -(\vec{a}\cdot \vec{c})} $\Leftrightarrow$ $x= \dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{12(\vec{b}\cdot \vec{c})}$

Τώρα για τον υπολογισμό των εσωτερικών γινομένων έχουμε:
$\displaystyle{\vec{a}+2 \vec{b}=3 \vec{c}}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle{(\vec{a}+2 \vec{b})^2 = (3 \vec{c}})^2$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle{\vec{a}^2 +4\vec{a} \vec{b} +4\vec{b}^2 = 9\vec{c}}^2$

$\Leftrightarrow$ $\displaystyle{|\vec{a}|^2 +4\vec{a} \vec{b} +4|\vec{b}|^2 = 9|\vec{c}}|^2.$

Αντικαθιστώντας έχουμε : $\vec{a} \vec{b}= \dfrac{31}{4}$

Ομοίως προκύπτει : $\vec{a} \vec{c}= \dfrac{35}{6}$ και $\vec{b} \vec{c}= \dfrac{55}{12}$ .

Τελικά έχουμε $(x,y)= (\dfrac{31}{28},\dfrac{31}{220})$ ... αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις...

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Mix 26

Mix 26

Re: Mix 26

Μέλη σε σύνδεση