Συντεταγμένη σχέση

KARKAR · #1

: Συντεταγμένη σχέση.png (11.49 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές

Τμήμα

, το οποίο διέρχεται από το S(4,3)

, έχει τα άκρα του στους ημιάξονες Ox,Oy

.

Για το σημείο

του τμήματος

, ισχύει $ON=\dfrac{OS}{4}$ . Η

τέμνει τον

στο

.

Φέρω $PT\parallel OS$ , ( $T \in AB$ ) . Βρείτε σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες a,b

, του

.

chris_konst · #2

KARKAR έγραψε:
Συντεταγμένη σχέση.png
Τμήμα , το οποίο διέρχεται από το , έχει τα άκρα του στους ημιάξονες .

Για το σημείο του τμήματος , ισχύει $ON=\dfrac{OS}{4}$ . Η τέμνει τον στο .

Φέρω $PT\parallel OS$ , ( $T \in AB$ ) . Βρείτε σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες , του .

Καλημέρα,

Η ιδέα είναι να εργαστούμε με συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων (ορίζουσα = 0). Περιληπτικά :

Έστω A(x,0), P(0,y)

με

. Αφού $\displaystyle{ \overrightarrow{ON} \nearrow \nearrow \overrightarrow{OS}}$ , η σχέση μήκους $ON=\dfrac{OS}{4}$ γίνεται σχέση διανυσμάτων $\displaystyle{ \overrightarrow{ON} = \frac{1}{4} \overrightarrow{OS} = \frac{1}{4} (4,3) }$ και δίνει ότι $\boxed{ N(1, 3/4) }$ .

Ακόμα είναι : $\overrightarrow{AS} = (4-x, 3)$ , $\overrightarrow{AN} = (1-x, 3/4)$ , $\overrightarrow{AP} = (-x, y)$ , και $\overrightarrow{AT} = (a-x, b)$

Από την συνευθειακότητα των A, S, T

προκύπτει $\overrightarrow{AS} \parallel \overrightarrow{AT} \Leftrightarrow \det ( \overrightarrow{AS}, \overrightarrow{AT}) =0 \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow \boxed{ x = \frac{4b-3a}{b-3}} \quad (1)$ (σχόλιο: είναι $b \neq 3$ διότι η

δεν είναι παράλληλη στον xx'

).

Επίσης, η συνευθειακότητα των A, N, P

δίνει $\overrightarrow{AN} \parallel \overrightarrow{AP} \Leftrightarrow \det ( \overrightarrow{AN}, \overrightarrow{AP}) =0 \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow 4y(1-x) = 3x \quad (2)$ άρα $\boxed{ y= \frac{3x}{x-1}}}$ (σχόλιο: είναι $x \neq 1$ διότι αν x=1

η

είναι αδύνατη ).

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω την (1)

παίρνουμε $\boxed{ y= \frac{3(4b-3a)}{4(b-a+3)}} \quad (3)$ .

Τέλος, αφού είναι: $\overrightarrow{PT} = (a,b-y)$ και $\overrightarrow{OS} = (4,3)$ και $\overrightarrow{PT} \parallel \overrightarrow{OS}$ , από την $\det ( \overrightarrow{PT}, \overrightarrow{OS}) =0$ παίρνουμε 3a-4b +4y =0

, αντικαθιστούμε το

από την

και παίρνουμε την ζητούμενη συνθήκη για τα a,b

:

και τελικά $\boxed { b-a=0}$ όπως εξηγούμε παρακάτω (βλ. Edit)

Υ.Γ. Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος τις πράξεις.

Edit: Κάτι που παρέλειψα από βιασύνη προηγουμένως: Αν ήταν 3a-4b=0

, αυτό θα σήμαινε ότι $\det (\overrightarrow{OT}, \overrightarrow{OS}) =0 \Leftrightarrow \overrightarrow{OT} \parallel \overrightarrow{OS}$ , άρα τα O, T, S

θα ήταν συνευθειακά. Επειδή όμως T, S

είναι και σημεία της

, θα συμπίπτουν, άτοπο διότι $PT \parallel OS$ με

διαφορετικό του

(αφού

διαφορετικό του

)
Edit 2 Πιο εύκολα, αν 3a-4b=0

, τότε η

δίνει

, άρα το

είναι στο

, άτοπο.

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Συντεταγμένη σχέση.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Τμήμα , το οποίο διέρχεται από το , έχει τα άκρα του στους ημιάξονες .

Για το σημείο του τμήματος , ισχύει $ON=\dfrac{OS}{4}$ . Η τέμνει τον στο .

Φέρω $PT\parallel OS$ , ( $T \in AB$ ) . Βρείτε σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες , του .

Καλησπέρα.

Έστω P(0,p)

και $\displaystyle{ND \bot OA \Rightarrow OD = 1,ND = \frac{3}{4}}$ . Προφανώς είναι b>3, a<4

, άρα

.

$\displaystyle{AB:y - 3 = \frac{{3 - b}}{{4 - a}}(x - 4)\mathop \Leftrightarrow \limits^{y = 0} }$ $\boxed{OA = \frac{{4b - 3a}}{{b - 3}}}$ (1)

: Συντεταγμένη σχέση.png (10.55 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

$\displaystyle{ND//OP \Leftrightarrow \frac{3}{{4p}} = \frac{{AD}}{{AO}} = \frac{{AO - 1}}{{AO}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{3(b - a + 1)}}{{4b - 3a}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{p = \frac{{4b - 3a}}{{4(b - a + 1)}}}$ (2)

$\displaystyle{PT//OS \Leftrightarrow {\lambda _{PT}} = {\lambda _{OS}} \Leftrightarrow \frac{{b - p}}{a} = \frac{3}{4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} 3{a^2} - 7ab + 4{b^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{3a - 4b \ne 0} }$ $\boxed{a=b}$ .

KARKAR · #4

: Συντεταγμένη σχέση.png (15.93 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

Φέραμε $NQ \perp Ox$ και τις QS,OT

. Τα τρίγωνα TPO , SNQ

είναι όμοια (γιατί ?) ,

συνεπώς OT // QS

. Αλλά $\lambda_{QS}=1$ , συνεπώς το

ανήκει στην ευθεία y=x

...

Καλός ο Γάλλος , ωραίος ο Ευκλείδης

Συντεταγμένη σχέση

Συντεταγμένη σχέση

Re: Συντεταγμένη σχέση

Re: Συντεταγμένη σχέση

Re: Συντεταγμένη σχέση

Μέλη σε σύνδεση