Μία εξεζητημένη στα διανύσματα

ArgirisM · #1

Θεωρούμε το τρίγωνο ABC

. Θεωρούμε σημεία D, E

τέτοια ώστε $\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ και $\vec{AE} = \frac{3}{4}\vec{AC}$ . Αν

είναι το σημείο τομής των BE, CD

να εκφράσετε το $\vec{AP}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\vec{AB}, \vec{AC}.$

#2

ArgirisM έγραψε:Θεωρούμε το τρίγωνο . Θεωρούμε σημεία τέτοια ώστε $\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ και $\vec{AE} = \frac{3}{4}\vec{AC}$ . Αν είναι το σημείο τομής των να εκφράσετε το $\vec{AP}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\vec{AB}, \vec{AC}.$

Με ευκλείδεια μέσα:

Από το θεώρημα Ceva είναι

$\displaystyle{\frac{AD}{DB}\frac{BK}{KC}\frac{CE}{EA}=1,}$

όπου $\displaystyle{K}$ το σημείο τομής της $\displaystyle{AP}$ με την πλευρά $\displaystyle{BC.}$

Επειδή

$\displaystyle{\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{\frac{CE}{EA}=\frac{1}{3}}$ ,

βρίσκουμε

$\displaystyle{BK=6KC}$ και επομένως είναι

$\displaystyle{\boxed{\overrightarrow{AK}=\frac{\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{AC}}{7}}}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

Όμως από το θεώρημα Van Aubel είναι

$\displaystyle{\frac{AP}{PK}=\frac{AD}{DB}+\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}\implies AP=\frac{7}{9}AK.}$

Άρα, λόγω της ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ ) προκύπτει

$\displaystyle{\overrightarrow{AP}=\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.}$

dimitris.ligonis · #3

Καλησπέρα Αργύρη, μια διανυσματική λύση μετά την ωραία λύση του κ.Μάγκου:
$\vec{AP}=\vec{AD}+\vec{DP} \Leftrightarrow$

$\vec{AP}= \frac{ \vec{AB}}{3} + k \vec{DC} \Leftrightarrow$

$\vec{AP}=\frac{\vec{AB}}{3}+k \vec {AC}-\frac{k}{3} \vec {AB} \Leftrightarrow$

${\boxed{\vec{AP}=\frac{1-k}{3}\vec{AB}+ k\vec {AC}}$

$\vec{AP}=\vec{AB}+\vec{BP} \Leftrightarrow$

$\vec{AP}=\vec{AB} + n\vec{BE} \Leftrightarrow$

$\vec{AP}=\vec{AB} + \frac{3n}{4} \vec{AC} -n \vec{AB} \Leftrightarrow$

$\boxed{\vec{AP}=(1-n)\vec{AB} +\frac{3n}{4} \vec{AC}}$

Λόγω της μοναδικότητας γραμμ.συνδυασμού έχουμε $[\frac{1-k}{3}=1-n \wedge k=\frac{3n}{4}]$
Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε : $k=\frac{2}{3} \wedge n=\frac{8}{9}$

και άρα $\boxed{\vec{AP}=\frac{1}{9}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}}$

ArgirisM · #4

Ωραία η λύση σου Δημήτρη. Θα ήθελα να προτείνω και εγώ άλλη μία που διαφοροποιείται λίγο στο τελευταίο μέρος αλλά είναι ενδεικτική μίας ασυνήθιστης μεθόδου επίλυσης τέτοιων θεμάτων. Από τις δύο σχέσεις που προέκυψαν έχουμε μεταβατικά $\frac{2 - 3n + k}{3} \vec{AB} + \frac{3n - 4k}{4} \vec{AC} = \vec{0}$ . Όμως τα $\vec{AB}, \vec{AC}$ είναι μη συγγραμμικά διανύσματα, πράγμα που σημαίνει πως οι συντελεστές τους στην παραπάνω σχέση πρέπει να ισούνται με

, ειδάλλως καταλήγουμε σε άτοπο. Έτσι προκύπτουν πάλι οι ίδιες λύσεις από το σύστημα. Και οι δύο λύσεις είναι πολύ καλές. Απλώς την αναφέρω για λόγους πληρότητας. Έτσι να δούμε και μια άλλη σκέψη...

#5

ArgirisM έγραψε:Θεωρούμε το τρίγωνο . Θεωρούμε σημεία τέτοια ώστε $\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ και $\vec{AE} = \frac{3}{4}\vec{AC}$ . Αν είναι το σημείο τομής των να εκφράσετε το $\vec{AP}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\vec{AB}, \vec{AC}.$

Στην πραγματικότητα είναι η άσκηση Β9 ( με το ξεχασμένο σχήμα!) της σελίδας 29 του νέου σχολικού βιβλίου Β΄ Κατεύθυνσης, στην οποία είναι σαν να ζητάμε το διάνυσμα θέσης του σημείου τομής των ευθειών $A\Delta$ και $B\Gamma$ αντί των

και $\Gamma \Delta$ με όμοια λύση.

kanenas · #6

Στην ίδια άσκηση να δείξετε ότι BP =8PE

.

Edit από Γενικούς Συντονιστές (Latex και λοιπά) για να είναι όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας.

Μία εξεζητημένη στα διανύσματα

Μία εξεζητημένη στα διανύσματα

Re: Μία εξεζητημένη στα διανύσματα

Re: Μία εξεζητημένη στα διανύσματα

Re: Μία εξεζητημένη στα διανύσματα

Re: Μία εξεζητημένη στα διανύσματα

Re: Μία εξεζητημένη στα διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση