Απορια σε κυκλο

Maths13 · #1

Θεωρουμε κυκλο με εξισωση χ^2+y^2=4 και την ευθεία (ε) : y = 2x + 5
Από ένα σημείο Μ της ευθείας ε φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο και ονομάζουμε Α και Β τα σημεια επαφης. Να δειξετε οτι αν το Μ διαγραφει την ε η ΑΒ διερχεται απο σταθερο σημειο.

Δυσκολευομαι ακομα να γραψω την απαντηση εδω γιατι δεν το εχω μαθει ακομα. Μηπως ειναι (-8/5,4/5)?

Καθε βοηθεια δεκτη

#2

Maths13 έγραψε:Θεωρουμε κυκλο με εξισωση χ^2+y^2=4 και την ευθεία (ε) : y = 2x + 5
Από ένα σημείο Μ της ευθείας ε φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο και ονομάζουμε Α και Β τα σημεια επαφης. Να δειξετε οτι αν το Μ διαγραφει την ε η ΑΒ διερχεται απο σταθερο σημειο.

Δυσκολευομαι ακομα να γραψω την απαντηση εδω γιατι δεν το εχω μαθει ακομα. Μηπως ειναι (-8/5,4/5)?

Καθε βοηθεια δεκτη

Έστω $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( \varepsilon \right) \mathrel\backepsilon M} \boxed{{y_0} = 2{x_0} + 1}:\left( 1 \right)$ . Η εξίσωση της (πολικής του σημείου ως προς τον κύκλο ( έστω $\left( O \right))$ είναι:

$x{x_0} + y{y_0} = 4\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} x{x_0} + y\left( {2{x_0} + 5} \right) = 4$ $\Leftrightarrow \ldots \boxed{\left( {x + 2y} \right){x_0} = 4 - 5y}:\left( 2 \right)$ .

Η $\left( 2 \right)$ πρέπει να είναι ταυτότητα ως προς ${{x}_{0}}\in R$ (αφού το διατρέχει την ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ ), οπότε

$\left\{ \begin{gathered} x + 2y = 0 \hfill \\ 4 - 5y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots x = - \dfrac{8}{5},y = \dfrac{4}{5}$ και συνεπώς η διέρχεται από το σταθερό σημείο $K\left( -\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5} \right)$ .

Στάθης

Maths13 · #3

Ετσι ακριβως.Ευχαριστω πολυ για την επιβεβαιωση.

Maths13 · #4

Να βρεθουν τα σημεια Μ της ευθειας x-y+3=0 απο τα οποια οι εφαπτομενες προς τον κυκλο (x-2)^2+(y+3)^2=50 ειναι καθετες ματαξυ τους.

Εδω τα σημεια Μ βρισκονται πανω στον κυκλο (μετα απο πραξεις) (x-2)^2+(y+3)^2=100. Οταν παμε να βρουμε τα κοινα σημεια με την ευθεια μηπως υπαρχει καποιο λαθος γιατι τα νουμερα ειναι λιγο περιεργα?

tdsotm111 · #5

Τα σημεία που βγάζω εγώ είναι: $\displaymath{A(-2+\sqrt{34},1+\sqrt{34})$ και $B(-2-\sqrt{34},1-\sqrt{34})}$

KARKAR · #6

: Κύκλοι.png (31.97 KiB) Προβλήθηκε 1894 φορές

Maths13 · #7

ευχαριστω πολυ και παλι για την επιβεβαιωση. Απλα επειδη ηταν περιεργα τα νουμερα για σχολικη ασκηση υπηρχε μια συστολη.

Ratio · #8

Στην περίπτωση καθέτων εφαπτομένων από εξωτερικό σημείο του κύκλου και δεδομένου ότι τα σημεία ανήκουν σε ευθεία , η οποία και δίνει τη σχέση συντεταγμένων , τα σημεία Μ μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει x ή y, από τη σχέση που δίνει η ευθεία στην οποία ανήκουν. Στο δεδομένο παράδειγμα M(x,x+3)

Τα πιθανά σημεία μαζί με το κέντρο και τα σημεία επαφής , δημιουργούν τετράγωνο με πλευρά ίση με την ακτίναι του κύκλου, οπότε εφαρμόζοντας πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκονται και τα σημεία
$(x-2)^2+(x+6)^2=100 \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x_{1}=-2-\sqrt{34} , \ x_{2}=-2+\sqrt{34}$

Απορια σε κυκλο

Απορια σε κυκλο

Re: Απορια σε κυκλο

Re: Απορια σε κυκλο

Re: Απορια σε κυκλο

Re: Απορια σε κυκλο

Re: Απορια σε κυκλο

Re: Απορια σε κυκλο

Re: Απορια σε κυκλο

Μέλη σε σύνδεση