Μix 16

erxmer · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με κορυφή

. Η εξίσωση της διχοτόμου

είναι η

. Η εξίσωση του ύψους

είναι η

.

1) Nα βρεθεί η εξίσωση της πλευράς

2) Nα αποδείξετε οτι το σημείο A'(-3,1)

είναι συμμετρικό της κορυφής

ως προς την διχοτόμο

3) Nα βρεθεί η εξίσωση της πλευράς

4) Nα βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής

5) Να βρεθεί η εξίσωση του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

sotiriszogos · #2

1) Επειδή το ύψος του τριγώνου απ την μια κορυφή, είναι κάθετο προς την απέναντι πλευρά τότε έχουμε : $\lambda_(CE)\cdot \lambda_(AB)=-1 \Rightarrow \lambda_(AB)=1$ .
Αφού το

ανήκει στην

τότε θα ικανοποιεί την εξίσωση και έτσι προκύπτει : AB: y=x-4

2) $\lambda_(AA')=\frac{1+5}{-3+1}=-3$ . $\lambda_(AA')\cdot \lambda_(BD)=-3\cdot \frac{1}{3}=-1$ . Άρα $AA'\perp BD$ .
$tanB_1=tanB_2 \Rightarrow \frac{A'M}{BM}=\frac{AM}{BM} \Rightarrow A'M=AM$ οπότε

συμμετρικό του

ως προς την

.

3)Επειδή το

ανήκει και στην

και στην

έχουμε $\begin {cases} y=x-4 \\ y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3} \end {cases} \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow \begin {cases} x=4 \\ y=0 \end {cases} \Rightarrow B=(4,0)$ .
Το

θα ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα

Οπότε $\lambda_(A'B)=\lambda_(BC)=\frac{0-1}{4+3}=-\frac{1}{7}$ .
Και επειδή το

ανήκει στην

προκύπτει : $BC: y=-\frac{1}{7}x+\frac{4}{7}$ .

4)Το σημείο

είναι το σημείο τομής της

και της

.
Οπότε έχουμε : $\begin {cases} y=-\frac{1}{7}x+\frac{4}{7} \\ y=-x-8 \end {cases} \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow \begin{cases} x=-10 \\ y=2 \end{cases}$ .
Άρα C=(-10,2)

.

5)(Επειδή από απροσεξία διάβασα περιγγεγραμμένος αντί για εγγεγραμμένος)
Έστω K,L

τα μέσα των AB,AC

αντίστοιχα.
$Κ=(\frac{3}{2},-\frac{5}{2}),L=(-\frac{11}{2},-\frac{3}{2})$ .
Έστω

το κέντρο του κύκλου.
Τότε ισχύει : $NK\perp AB$ και $NL\perp AC$ . Άρα $\lambda_(NK)=-1$ και $\lambda_(NL)=\frac{9}{7}$ .
Το

ανήκει στο

οπότε προκύπτει NK: y=-x-1

.
Το

ανήκει στο

οπότε προκύπτει $NL: y=\frac{9}{7}x+\frac{78}{14}$ .
Το

είναι σημείο τομής των NK,NL

οπότε είναι η λύση του συστήματος $\begin{cases} y=-x-1 \\ y=\frac{9}{7}x+\frac{78}{14} \end{cases} \Rightarrow \cdot\cdot\cdot \Rightarrow \begin{cases} x=-\frac{23}{8} \\ y=\frac{15}{8} \end{cases}$ .
Άρα $N=(-\frac{23}{8},\frac{15}{8})$ το κέντρο του κύκλου.
Και ακτίνα ίση με $NB=\sqrt{(4+\frac{23}{8})^2+(0-\frac{15}{8})^2}=\sqrt{\frac{1625}{32}}$ .
Οπότε η εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου είναι $(x+\frac{23}{8})^2+(y-\frac{15}{8})^2=\frac{1625}{32}$ .

Μix 16

Μix 16

Re: Μix 16

Μέλη σε σύνδεση