Τρία ισόπλευρα και λόγος

#1

: Τρία ισόπλευρα και λόγος.png (22.06 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές

Σε ευθύγραμμο τμήμα

θεωρώ τα σημεία C, D,

ώστε

και κατασκευάζω προς το ίδιο

μέρος της

τα ισόπλευρα τρίγωνα ACE, CDF, DBG.

Αν η

τέμνει τη

στο

και η

τις

στα

αντίστοιχα, να βρείτε το λόγο $\dfrac{(AST)}{(DPG)}.$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.

kfd · #2

Από ν. συνημ. στο AGB: $AG^{2}=7a^{2}\Rightarrow AG=\sqrt{7}a$
Από παραλληλία στο AGB: $AS=SP=PG=\frac{\sqrt{7}a}{3}$
Από ν. συνημ. στο AΡD: $PD^{2}=\frac{7a^{2}}{9}-a^{2}+a\times PD\Leftrightarrow 9PD^{2}-18aPD+8a^{2}=0\Leftrightarrow PD=\frac{2a}{3}$
Άρα: $\left ( PDG \right )=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{6}$
Στο ισοσκελές ACF η διχοτόμος CT είναι διάμεσος και ύψος και από ΠΘ στο ΑFΡ: $AF=\sqrt{3}a$
Το ΤS ενώνει μέσα: $TS=\frac{FP}{2}=\frac{a}{6}\Rightarrow (ATS)=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{24}\Rightarrow l=\frac{1}{4}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα!
Στο αρχικό σχήμα:
Τα τρίγωνα PAD,BAG

έχουν λόγο ομοιότητας 2/3

, άρα

οπότε και $\left ( DPG \right )=\dfrac{2}{3}\left ( GDF \right )$

Όπως πριν TS=a/6

δηλ

. Όμως $\bigtriangleup GDF=\bigtriangleup AEC$ .

Με διαίρεση κατά μέλη παίρνουμε $\dfrac{\left ( AST \right )}{\left ( DPG \right )} =\dfrac{1/6}{2/3}=\dfrac{1}{4}$ .

Φιλικά, Γιώργος.

Ιστοσελίδα · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 16, 2026 10:31 am

Σε ευθύγραμμο τμήμα θεωρώ τα σημεία ώστε και κατασκευάζω προς το ίδιο

μέρος της τα ισόπλευρα τρίγωνα Αν η τέμνει τη στο και η τις

στα αντίστοιχα, να βρείτε το λόγο $\dfrac{(AST)}{(DPG)}.$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.

: shape.png (21.47 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές

#5

Λόγω συμμετρίας στο παραλληλόγραμμο ADGE

, το τρίγωνο PDG

είναι ίσο με το ASE

. Επομένως αρκεί να υπολογίσουμε τον λόγο $\frac{ST}{SE}$ . Όμως $CS=\frac{1}{3}BG=\frac{1}{3}CE$ , οπότε ο ζητούμενος λόγος είναι $\frac{ST}{SE}=\frac{1}{4}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 16, 2026 10:31 am
Τρία ισόπλευρα και λόγος.png
Σε ευθύγραμμο τμήμα θεωρώ τα σημεία ώστε και κατασκευάζω προς το ίδιο

μέρος της τα ισόπλευρα τρίγωνα Αν η τέμνει τη στο και η τις

στα αντίστοιχα, να βρείτε το λόγο $\dfrac{(AST)}{(DPG)}.$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για μαθητές.

και

συγλίνουν στο

Άρα (θ.κ.δέσμης) $\dfrac{DQ}{QP}= \dfrac{ZC}{CS}= \dfrac{BG}{CS} = 3\Rightarrow \dfrac{PQ}{PD}= \dfrac{1}{4}$

Προφανώς $\triangle AST= \triangle GPQ$ .Άρα $\dfrac{(AST)}{(DPG)}= \dfrac{(GPQ)}{(DPG)}= \dfrac{PQ}{PD}= \dfrac{1}{4}$

: Τρία ισόπλευρα και λόγος.png (29.91 KiB) Προβλήθηκε 34 φορές

Τρία ισόπλευρα και λόγος

Τρία ισόπλευρα και λόγος

Re: Τρία ισόπλευρα και λόγος

Re: Τρία ισόπλευρα και λόγος

Re: Τρία ισόπλευρα και λόγος

Re: Τρία ισόπλευρα και λόγος

Re: Τρία ισόπλευρα και λόγος

Μέλη σε σύνδεση