Ημικύκλιο και καθετότητα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ! Με αφορμή πρόσφατο -ενδιαφέρον!- θέμα.

: 18-3 Ημικύκλιο και καθετότητα.png (847.67 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές

Στο σχήμα (*) τα σημεία $Z,H \in AB$ , ενώ τα A,E,D

είναι συνευθειακά όπως και τα B,E,C

.

Τα τμήματα CA, EZ, DB

είναι κάθετα στην

.

Ι) Αν δοθούν AZ=HB=4 , ZH=5

και

τότε α) Να υπολογιστούν τα μήκη των και και

β) Να εξεταστεί αν τα σημεία N,E,H

είναι συνευθειακά , όπου

η τομή του ημικυκλίου διαμέτρου

με την

ΙΙ) Γενικότερα αν AZ=HB =x , AB=a

και $EZ^2=AZ \cdot ZB$ , να εξεταστεί αν ισχύει EC^2 +HD^2 = ED^2 +HC^2

(*) Χρειάζομαι .. βοήθεια.. Αν και το σχήμα το αποθηκεύω σε μικρό μέγεθος , το εμφανίζει ατυχώς .. τεράστιο..

Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

abgd · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 18, 2026 1:26 pm
Στο σχήμα (*) τα σημεία $Z,H \in AB$ , ενώ τα είναι συνευθειακά όπως και τα .

Τα τμήματα είναι κάθετα στην .

Ι) Αν δοθούν και τότε α) Να υπολογιστούν τα μήκη των και και

β) Να εξεταστεί αν τα σημεία είναι συνευθειακά , όπου η τομή του ημικυκλίου διαμέτρου με την

ΙΙ) Γενικότερα αν και $EZ^2=AZ \cdot ZB$ , να εξεταστεί αν ισχύει

: hmikiklio k.png (29.55 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές

KARKAR · #3

: Επίκαιρη.png (21.02 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Πρόκειται για εφαρμογή αυτής . Το

είναι κάθετο στην

.

Αλλά : $HE \parallel OM$ ( O, M

μέσα των

αντίστοιχα ) ...

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 18, 2026 1:26 pm
Χαιρετώ! Με αφορμή πρόσφατο -ενδιαφέρον!- θέμα.

Στο σχήμα (*) τα σημεία $Z,H \in AB$ , ενώ τα είναι συνευθειακά όπως και τα .

Τα τμήματα είναι κάθετα στην .

Ι) Αν δοθούν και τότε α) Να υπολογιστούν τα μήκη των και και

β) Να εξεταστεί αν τα σημεία είναι συνευθειακά , όπου η τομή του ημικυκλίου διαμέτρου με την

ΙΙ) Γενικότερα αν και $EZ^2=AZ \cdot ZB$ , να εξεταστεί αν ισχύει

(*) Χρειάζομαι .. βοήθεια.. Αν και το σχήμα το αποθηκεύω σε μικρό μέγεθος , το εμφανίζει ατυχώς .. τεράστιο..

Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Ια) $\displaystyle \bullet$ $\displaystyle E{Z^2} = 36 = 4 \cdot 9 = AZ \cdot ZB \Leftrightarrow A\widehat EB = 90^\circ$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{6}{{AC}} = \frac{9}{{13}} \Leftrightarrow AC = \frac{{26}}{3},\frac{6}{{BD}} = \frac{4}{{13}} \Leftrightarrow BD = \frac{{39}}{2}$

Με Πυθαγόρειο στα τρίγωνα ABC, AEZ

βρίσκω $BC=\dfrac{13\sqrt{13}}{3},AC=2\sqrt{13}.$

: Ημικύκλιο και καθετότητα.png (21.79 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle AC||BD \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CE}}{{EB}} = \frac{{AE}}{{ED}} \Leftrightarrow \frac{4}{9} = \frac{{CE}}{{EB}} = \frac{{AE}}{{ED}} \Leftrightarrow$ $\boxed{EC=\frac{4\sqrt{13}}{3}}$ και $\boxed{ED=\frac{9\sqrt{13}}{2}}$

Τέλος με Πυθαγόρειο στα AHC, DHB

παίρνω, $\boxed{HC=\frac{\sqrt{1405}}{3}}$ και $\boxed{HD=\frac{\sqrt{1585}}{2}}$

Ιβ) Προφανώς είναι $HN\bot CD.$ Για να αποδείξω την συνευθειακότητα των H, E, N

αρκεί να δείξω ότι

DE^2-EC^2=HD^2-HC^2,

που εύκολα προκύπτει μετά τις πράξεις.

Τη γενίκευση, όπως βλέπω την απάντησε πολύ εύστοχα ο Θανάσης.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Θανάση και Γιώργο σας ευχαριστώ!

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 19, 2026 10:28 am

Τη γενίκευση, όπως βλέπω την απάντησε πολύ εύστοχα ο Θανάσης.

Συμφωνώ απολύτως! Η δική μου πρόθεση είναι ..αντίθετης διαδρομής:

Δημιούργησα το παρόν με σκοπό να δοθεί μια ακόμη λύση στο θέμα που παραπέμπει κι' ο Θανάσης.

Με την -ανεξάρτητη από εκείνο- απόδειξη της εδώ γενίκευσης, προκύπτει ως συνέπεια η εκεί ζητούμενη καθετότητα!

Φιλικά, Γιώργος.

Ημικύκλιο και καθετότητα

Ημικύκλιο και καθετότητα

Re: Ημικύκλιο και καθετότητα

Re: Ημικύκλιο και καθετότητα

Re: Ημικύκλιο και καθετότητα

Re: Ημικύκλιο και καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση