ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

#1

ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, φίλοι μου.
Σ’ αυτό εδώ τον χώρο, θα σας παρουσιάζουμε στο εξής, ενδιαφέρουσες, κατά την γνώμη μας πρωτοεμφανιζόμενες Γενικεύσεις, Επεκτάσεις, Αποδείξεις γνωστών Προτάσεων - Προβλήματα- γ.τ. Γεωμετρίας, τις οποίες έχουμε επινοήσει κατά το παρελθόν και τις οποίες δεν είχαμε συναντήσει μέχρι τότε, στη γνωστή μας βιβλιογραφία, άσχετα αν εκ των υστέρων έχουμε συναντήσει κάποιες απ’ αυτές. .

Για όλα αυτά θα θέλαμε να μας γνωρίζετε συγκεκριμένα αν τα έχετε συναντήσει, που, πότε και να κάνετε την σχετική καλοπροαίρετη κριτική σας.

Εξυπακούεται ότι, οι παραπάνω Προτάσεις, Προβλήματα,-γ.τ. Γεωμετρίας, μπορεί να είναι πολύ δύσκολα μέχρι και πολύ απλά.

Στόχος μας είναι απλά και μόνο να δημοσιεύσουμε στο mathematica όσο το δυνατό περισσότερες Γενικεύσεις, Επεκτάσεις Αποδείξεις γνωστών Προτάσεων, Προβλήματα, γ.τ. Γεωμετρίας, μπορέσουμε και λιγότερο η συμμετοχή.
Οι ενδιαφερόμενοι μελετητές τούτων είναι δυνατό να δίνουν τις δικές τους Επεκτάσεις- Γενικεύσεις- Αποδείξεις και τα δικά τους σχόλια.

Μετά τα παραπάνω, κάνουμε την αρχή με την παρακάτω,
Γενίκευση B28:
«Τριγώνου , όλες οι πλευρές του τέμνονται από κύκλο $\left ( O,R \right )$ ή έλλειψη, στα ζεύγη των σημείων: $A_{1}-A_{2}\in AB$ , $B_{1}-B_{2}\in BC$ , $C_{1}-C_{2}\in CA$ .
Αν είναι: $A'\equiv AB_{1}\bigcap BC_{2}$ , $B'\equiv BC_{1}\bigcap CA_{2}$ , $C'\equiv CA_{1}\bigcap AB_{2}$ ,
$A'_{1}\equiv AB_{2}\bigcap BC_{1}$ , $B'_{1}\equiv BC_{2}\bigcap CA_{1}$ , $C'_{1}\equiv CA_{2}\bigcap BB_{1}$ ,

τότε θα είναι: $AB'\bigcap BC'\bigcap CA'\equiv K$ και $AB'_{1}\bigcap BC'_{1}\bigcap CA'_{1}\equiv K_{1}$ .
/u]

Αγαπητοί φίλοι, για την παραπάνω Πρόταση, περιμένουμε τις απαντήσεις σας, πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα.

Δική μας απόδειξη θα δοθεί σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#2

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 04, 2025 5:46 pm

Γενίκευση B28:
«Τριγώνου , όλες οι πλευρές του τέμνονται από κύκλο $\left ( O,R \right )$ ή έλλειψη, στα ζεύγη των σημείων: $A_{1}-A_{2}\in AB$ , $B_{1}-B_{2}\in BC$ , $C_{1}-C_{2}\in CA$ .
Αν είναι: $A'\equiv AB_{1}\bigcap BC_{2}$ , $B'\equiv BC_{1}\bigcap CA_{2}$ , $C'\equiv CA_{1}\bigcap AB_{2}$ ,
$A'_{1}\equiv AB_{2}\bigcap BC_{1}$ , $B'_{1}\equiv BC_{2}\bigcap CA_{1}$ , $C'_{1}\equiv CA_{2}\bigcap BB_{1}$ ,

τότε θα είναι: $AB'\bigcap BC'\bigcap CA'\equiv K$ και $AB'_{1}\bigcap BC'_{1}\bigcap CA'_{1}\equiv K_{1}$ .

.
Η άσκηση είναι πάρα πολύ γνωστή. Την συναντά κανείς σε σχεδόν όλες τις Γεωμετρίες που έχουν κεφάλαιο για το Θεώρημα Ceva, είτε ως θεωρία είτε ως άσκηση. Παρακάτω παραθέτω αυτούσια την σελίδα από το πολυδιαβασμένο βιβλίο ασκήσεων των Ιησουιτών.
.

: Ιησουίτες Tarquem.png (377.44 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές

.
Από εκεί το πήρε η Ελληνική βιβλιογραφία, και εμφανίζεται συχνότατα, όπως συχνότατα εμφανίζεται στην ξένη βιβλιογραφία (σε όλες τις γλώσσες). Παρακάτω παραθέτω αυτούσια την αντίστοιχη άσκηση από την πολυδιαβασμένη Γεωμετρία του Μπαρμπαστάθη.
.

: Μπαρμπαστάθης.png (77.28 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές

.

Ας προσθέσω ότι το αποτέλεσμα ονομάζεται Θεώρημα του Tarquem, και ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΣΤΗΚΕ πριν από το 1900

.

Επίσης έχει χρησιμοποιηθεί άπειρες φορές για να αποδείξει συγκλίσεις τριάδας σεβιανών από άλλη συγκλίνουσα τριάδα. Για παράδειγμα αν πάρουμε τις (συγκλίνουσες) διαμέσους και ως κύκλο τον κύκλο του Euler (που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών και επίσης από τους πόδες των υψών). έπεται ότι συγκλίνουν τα ύψη.

Η μορφή της με έλλειψη αντί για κύκλο είναι εξ ίσου πολυεμφανιζόμενη. Άλλωστε προκύπτει κατά τετριμμένο τρόπο από την περίπτωση του κύκλου αφού κάθε έλλειψη μπορεί να προβληθεί σε κύκλο.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 04, 2025 11:04 pm
Η μορφή της με έλλειψη αντί για κύκλο είναι εξ ίσου πολυεμφανιζόμενη. Άλλωστε προκύπτει κατά τετριμμένο τρόπο από την περίπτωση του κύκλου αφού κάθε έλλειψη μπορεί να προβληθεί σε κύκλο.

Ας προσθέσω ότι ισχύει το ίδιο για οποιαδήποτε Κωνική, όχι μόνο έλλειψη. Στο παρακάτω σχήμα οι σεβιανές AD, BE, CF

(μαύρες στο σχήμα) του τριγώνου ABC

συγκλίνουν στο

. Η υπερβολή (κόκκινη στο σχήμα) διέρχεται από τα D,E,F

και επανατέμνει το τρίγωνο στα σημεία K,L,M

. Τότε οι σεβιανές AM, BL, CM

(πράσινες στο σχήμα) συγκλίνουν και αυτές, στο

.

H γενίκευση σε κωνική - έλλειψη, παραβολή, υπερβολή- είναι κοινοτυπία. Την βρίσκει κανείς σε όλα τα βιβλία Προβολικής Γεωμετρίας που ασχολούνται με κωνικές. Άλλωστε η απόδειξη της μισής γραμμής που έγραψα για την έλλειψη είναι κεντρικό θέμα στο βιβλίο του Desargue. Και το χρησιμοποιήσε ο Pascal στην απόδειξή του τού ομώνυμου θεωρήματος. Αυτά για την ιστορία.
.

#4

Καμιά σχέση η παραπάνω δική μου προτεινόμενη Πρόταση Β28 (ποστ 1) έχει, με αυτή που αναφέρεται παραπάνω (ποστ 2) των Ιησουϊτών και Μπαρμπαστάθη. Τούτο διαπιστώνει άμεσα και εύκολα, κάθε καλοπροαίρετος αναγνώστης, καθώς είναι προφανές ότι δεν έχουν όμοια δοσμένα και όμοια ζητούμενα.

Διερωτώμαι μήπως δεν έχει γίνει κατανοητή η δική μου Πρόταση;

Νίκος Κυριαζής

#5

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 05, 2025 9:36 am
Καμιά σχέση η παραπάνω δική μου προτεινόμενη Πρόταση Β28 (ποστ 1) έχει, με αυτή που αναφέρεται παραπάνω (ποστ 2) των Ιησουϊτών και Μπαρμπαστάθη. Τούτο διαπιστώνει άμεσα και εύκολα, κάθε καλοπροαίρετος αναγνώστης.

.
Το αντίθετο. Οι παραπομπές που έδωσα, συν ένα πρόσθετο τετριμμένο βήμα, είναι ακριβώς η ζητούμενη απόδειξη,

Λάθος μου που δεν ήμουνα πιο αναλυτικός αλλά δεν φανταζόμουν ότι δεν θα ήταν ορατά αυτά που γράφω, δεδομένου ότι είναι απλά και γνωστά. Όπως και να είναι, απολογούμαι και επανορθώνω: Γράφω από κάτω την πλήρη απόδειξη με σχολαστικότητα.
.

: Πρωτοεμφ.png (81.32 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές

.
Προεκτείνουμε τις AB', BC', CA'

μέχρι να τμήσουν τις απέναντι πλευρές στα X,Y,Z

.

Επειδή οι AX, BC_1, CA_2

είναι συγκλίνουσα δέσμη, έχουμε από Ceva

$\displaystyle{\dfrac {BX}{XC}\dfrac {CC_1}{C_1A}\dfrac {AA_2}{A_2B}=1}$

Όμοια από τις δέσμες BY, CA_1, BC_2

και

έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {CY}{YA}\dfrac {AA_1}{A_1B}\dfrac {BB_2}{B_2C}=1}$ και

$\displaystyle{\dfrac {AZ}{ZB}\dfrac {BB_1}{B_1C}\dfrac {CC_2}{C_2A}=1}$

Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη θα βρούμε

$\displaystyle{\left (\dfrac {BX}{XC}\dfrac {{\color {red} CC_1}}{{\color {red} C_1A}}\dfrac {AA_2}{A_2B}\right ) \left(\dfrac {CY}{YA}\dfrac {AA_1}{A_1B}\dfrac {BB_2}{B_2C}\right)\left(\dfrac {AZ}{ZB}\dfrac {BB_1}{B_1C}\dfrac {{\color {red} CC_2}}{{\color {red} C_2A}}\right)=1}$

Αλλά από δύναμη σημείου έχουμε $CC_1\cdot CC_2=AC_1\cdot AC_2$ και κυκλικά, άλλες δύο. Κάνοντας τις απλοποιήσεις (σημείωσα με κόκκινο την προηγούμενη περίπτωση) μένει

$\displaystyle{\dfrac {BX}{XC}\dfrac {CY}{YA}\dfrac {AZ}{ZB}= 1}$

και άρα από Ceva οι AX,BY,CZ

(οι κόκκινες γραμμές) συγκλίνουν. Όμοια η δεύτερη τριάδα.

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Ας προσθέσω ότι παρατηρεί κανείς ότι πρόκειται για ακριβώς τα ίδια βήματα με τις παραπομπές στους Ιησουίτες και τον Μπαρμπαστάθη, εκτός από τετριμμένη διασκευή.

Προσκαλώ τους Γεωμέτρες του φόρουμ να αποφανθούν αν η απόδειξη αυτή είναι πλήρης και σωστή.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 04, 2025 5:46 pm

Δική μας απόδειξη θα δοθεί σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Kύριε Κυριαζή
Περιμένουμε τη δική σας λύση στην πρόταση που προτείνατε.
Μέχρι τότε υπάρχει η απόδειξη του κυρίου Λάμπρου.

Dimessi · #7

Καλησπέρα. Ας μην διαστρεβλώνουμε την πραγματικότητα.
Αν ένα πράγμα σιχαίνομαι στη ζωή μου, είναι ο αποπροσανατολισμός από την πραγματικότητα, τα ψέματα.
Η απόδειξη του κυρίου Λάμπρου είναι κομψότατη , σαφέστατη, ξεκάθαρη, αψεγάδιαστη.
Αυτή είναι η αλήθεια.
Εδώ δεν είναι θέμα προσωπικής άποψης. Είναι αδιάσειστα τα στοιχεία που παρατίθενται από τον κύριο Λάμπρου.
Και χωρίς αυτά όμως , οποιοσδήποτε διαθέτει γεωμετρική ενόραση , καταλαβαίνει αμέσως τα όλα όσα λέει ο κύριος Λάμπρου

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 05, 2025 4:33 pm

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 05, 2025 9:36 am
Καμιά σχέση η παραπάνω δική μου προτεινόμενη Πρόταση Β28 (ποστ 1) έχει, με αυτή που αναφέρεται παραπάνω (ποστ 2) των Ιησουϊτών και Μπαρμπαστάθη. Τούτο διαπιστώνει άμεσα και εύκολα, κάθε καλοπροαίρετος αναγνώστης.
.
Το αντίθετο. Οι παραπομπές που έδωσα, συν ένα πρόσθετο τετριμμένο βήμα, είναι ακριβώς η ζητούμενη απόδειξη,

Λάθος μου που δεν ήμουνα πιο αναλυτικός αλλά δεν φανταζόμουν ότι δεν θα ήταν ορατά αυτά που γράφω, δεδομένου ότι είναι απλά και γνωστά. Όπως και να είναι, απολογούμαι και επανορθώνω: Γράφω από κάτω την πλήρη απόδειξη με σχολαστικότητα.
.
Πρωτοεμφ.png
.
Προεκτείνουμε τις μέχρι να τμήσουν τις απέναντι πλευρές στα .

Επειδή οι είναι συγκλίνουσα δέσμη, έχουμε από Ceva

$\displaystyle{\dfrac {BX}{XC}\dfrac {CC_1}{C_1A}\dfrac {AA_2}{A_2B}=1}$

Όμοια από τις δέσμες και έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {CY}{YA}\dfrac {AA_1}{A_1B}\dfrac {BB_2}{B_2C}=1}$ και

$\displaystyle{\dfrac {AZ}{ZB}\dfrac {BB_1}{B_1C}\dfrac {CC_2}{C_2A}=1}$

Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη θα βρούμε

$\displaystyle{\left (\dfrac {BX}{XC}\dfrac {{\color {red} CC_1}}{{\color {red} C_1A}}\dfrac {AA_2}{A_2B}\right ) \left(\dfrac {CY}{YA}\dfrac {AA_1}{A_1B}\dfrac {BB_2}{B_2C}\right)\left(\dfrac {AZ}{ZB}\dfrac {BB_1}{B_1C}\dfrac {{\color {red} CC_2}}{{\color {red} C_2A}}\right)=1}$

Αλλά από δύναμη σημείου έχουμε $CC_1\cdot CC_2=AC_1\cdot AC_2$ και κυκλικά, άλλες δύο. Κάνοντας τις απλοποιήσεις (σημείωσα με κόκκινο την προηγούμενη περίπτωση) μένει

$\displaystyle{\dfrac {BX}{XC}\dfrac {CY}{YA}\dfrac {AZ}{ZB}= 1}$

και άρα από Ceva οι (οι κόκκινες γραμμές) συγκλίνουν. Όμοια η δεύτερη τριάδα.

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Ας προσθέσω ότι παρατηρεί κανείς ότι πρόκειται για ακριβώς τα ίδια βήματα με τις παραπομπές στους Ιησουίτες και τον Μπαρμπαστάθη, εκτός από τετριμμένη διασκευή.

Προσκαλώ τους Γεωμέτρες του φόρουμ να αποφανθούν αν η απόδειξη αυτή είναι πλήρης και σωστή.

Αυτή μάλιστα είναι απόδειξη της παραπάνω δικής μου Πρότασης Β28 (ποστ 1) και μάλιστα είναι πολύ σωστή.

Όσο για την παραπάνω απάντηση του ποστ 2, συνεχίζουν να ισχύουν αυτά που έχω γράψει παραπάνω (ποστ 4).

Νίκος Κυριαζής

#9

Dimessi έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 05, 2025 10:21 pm
Εδώ δεν είναι θέμα προσωπικής άποψης. Είναι αδιάσειστα τα στοιχεία που παρατίθενται από τον κύριο Λάμπρου.
Και χωρίς αυτά όμως , οποιοσδήποτε διαθέτει γεωμετρική ενόραση , καταλαβαίνει αμέσως τα όλα όσα λέει ο κύριος Λάμπρου

Δημήτρη, είναι ακριβώς όπως τα λες.

Σύντομα θα βάλω και άλλη μία παραλλαγή στο ίδιο μοτίβο. Ελπίζω να προλάβω σήμερα δεδομένου ότι έχει αρκετή πληκτρολόγιση. Αλλιώς, λίγο υπομονή γιατί έχω ταξίδι αύριο για Μαυροβούνιο/Μοντενέγκρο, όπου έχω πολύ βαρύ πρόγραμμα ομιλιών σε μαθητές σε Σχολεία και σε φοιτητές στο εκεί Μαθηματικό Τμήμα. Δυστυχώς εκεί η σύνδεση στο ίντερνετ είναι προβληματική.

Dimessi · #10

Μακάρι να μπορούσα να έρθω εκεί να γνωριστούμε κι από κοντά . Δεν μπορώ όμως να φύγω.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #11

Καλημέρα.
Ένα συμπέρασμα της συζήτησης είναι ότι η πρόταση που πρότεινε ο κύριος Κυριαζής δεν είναι πρωτοεμφανιζόμενη.
Αξιόλογη ναι, πρωτοεμφανιζόμενη όχι.

αρψ2400 · #12

Αν επέκταση σημαίνει παραλλαγή , έμπνευση από μια γνωστή πρόταση (και όχι γενίκευση , μιας και η λέξη γενίκευση αναφέρεται στον τίτλο της συζήτησης) έχει δίκιο ο κύριος Νίκος. Δεν λέει ο τίτλος τίποτα για εντελώς νέες πρωτότυπες προτάσεις.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #13

Εδώ δεν έχουμε κάποια πρωτότυπη παραλλαγή. Επίσης δεν είδα ο κύριος Κυριαζής να δημοσιεύει κάποια πρωτότυπη απόδειξη της πρότασης που πρότεινε. Δεν έχω να γράψω κάτι άλλο...

#14

Dimessi έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 05, 2025 10:21 pm
Καλησπέρα. Ας μην διαστρεβλώνουμε την πραγματικότητα.
Αν ένα πράγμα σιχαίνομαι στη ζωή μου, είναι ο αποπροσανατολισμός από την πραγματικότητα, τα ψέματα.
Η απόδειξη του κυρίου Λάμπρου είναι κομψότατη , σαφέστατη, ξεκάθαρη, αψεγάδιαστη.
Αυτή είναι η αλήθεια.
Εδώ δεν είναι θέμα προσωπικής άποψης. Είναι αδιάσειστα τα στοιχεία που παρατίθενται από τον κύριο Λάμπρου.
Και χωρίς αυτά όμως , οποιοσδήποτε διαθέτει γεωμετρική ενόραση , καταλαβαίνει αμέσως τα όλα όσα λέει ο κύριος Λάμπρου

1. Απαντήσεις
--Ας μην διαστρεβλώνουμε την πραγματικότητα.
Δε γράφετε ποιος. Γιατί εγώ στις απαντήσεις μου ποστ 4 και 8 δε βλέπω κάτι τέτοιο. Ποίον όμως υπονοείς;

--Αν ένα πράγμα σιχαίνομαι στη ζωή μου, είναι ο αποπροσανατολισμός από την πραγματικότητα, τα ψέματα.
Εγώ να δεις. Ποίον όμως υπονοείς; Γιατί εγώ σιχαίνομαι και τα υπονοούμενα. Μου αρέσουν οι καθαρές κουβέντες.

--Η απόδειξη του κυρίου Λάμπρου είναι κομψότατη, σαφέστατη, ξεκάθαρη, αψεγάδιαστη.
Αυτή είναι η αλήθεια.
Ποιος αμφιβάλει Αν εννοείς βέβαια εκείνη του ποστ 5, γιατί για εκείνη του ποστ 2 την άποψή μου την έχω εκφράσει στο ποστ 4.

--Εδώ δεν είναι θέμα προσωπικής άποψης. Είναι αδιάσειστα τα στοιχεία που.
παρατίθενται από τον κύριο Λάμπρου.
Ποιος αμφιβάλει; Αν εννοείς βέβαια τη απόδειξη εκείνη του ποστ 5.

--Και χωρίς αυτά όμως , οποιοσδήποτε διαθέτει γεωμετρική ενόραση , καταλαβαίνει αμέσως τα όλα όσα λέει ο κύριος Λάμπρου
Ποιος αμφιβάλει και γι΄ αυτό; Εγώ πάντως συμφωνώ, αλλά δέχομαι μόνο τα σωστά γιατί δεν έχει το αλάνθαστο.

2. Συμπέρασμα
Βλέπετε λοιπόν ότι σπεύσατε να με καταδικάσετε πριν ακόμη με ακούσετε στην προσπάθειά σας να παίξετε και πάλι το ρόλο του συνήγορου. Τα ίδια ακριβώς κάνατε και εδώ;
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... &start=120
Και εδώ, η τελευταία λύση του κ. Λάμπρου ήταν σωστή και θα το έγραφα, αλλά το θρεντ εκείνο κλειδώθηκε και δεν πρόλαβα. Προλάβατε όμως εσείς να με κατηγορήσετε με υπονοούμενα άδικα πριν ακόμη με ακούσετε και στη συνέχεια να διαγραφεί αντιδεοντολογικά μόνο η απολογία μου.

φιλικά
Νίκος Κυριαζής

#15

ΑΚΥΡΟ

ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ, Γ. Τ..

Μέλη σε σύνδεση