Άνισα σε ισοσκελές

KARKAR · #1

: Άνισα σε ισοσκελές.png (19.59 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

Ισοσκελές τρίγωνο ABC

, με :

, είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

.

Η

προεκτεινόμενη , τέμνει την

στο σημείο

. Υπολογίστε τα τμήματα : BO , OS , SA

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 23, 2025 11:06 am
Άνισα σε ισοσκελές.pngΙσοσκελές τρίγωνο , με : , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .

Η προεκτεινόμενη , τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε τα τμήματα : .

.

: ανισα.png (24.79 KiB) Προβλήθηκε 484 φορές

.
$R+x= AD=\sqrt AB^2-BD^2}= \sqrt {6^2-2^2}=4\sqrt 2$ και 2^2=BD^2= BO^2-OD^2= R^2-x^2

. Άρα

$\boxed {R= \dfrac {9}{4}\sqrt 2, \, x= \dfrac {7}{4}\sqrt 2 }$

Επίσης, από Μενέλαο στο ABC

με διατέμνουσα την BOS

έχουμε $\dfrac {AS}{SC}\cdot \dfrac {4}{2}\cdot \dfrac {x}{R}=1$ . Άρα $\dfrac {AS}{SC}=\dfrac {9}{14}$ . Μαζί με την AS+SC=AC=6

έχουμε

$\boxed {AS= \dfrac {54}{23}, \, SC= \dfrac {84}{23} }$ .

Μένει η $OS= BS-BO= BS-\dfrac {9}{4}\sqrt 2$ . Αλλά η

είναι άμεση από τον Νόμο των Συνημιτόνων στο τρίγωνο BSC

στο οποίο είναι γνωστά τα BC, CS

και $\cos B = \dfrac {CD}{ AC} = \dfrac {2}{ 6}= \dfrac {1}{ 3}$ . Θα βγει $BS\approx 4,43$ και από εκεί $OS\approx 1,25$ (οι ακριβείς τιμές είναι άμεσες αλλά μεγάλα κλάσματα που δεν αξίζει να πληκτρολογηθούν).

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 23, 2025 11:06 am
Άνισα σε ισοσκελές.pngΙσοσκελές τρίγωνο , με : , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .

Η προεκτεινόμενη , τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε τα τμήματα : .

Βρίσκω το εμβαδόν του ABC

με δύο τρόπους, $\displaystyle \sqrt {8 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{{6 \cdot 6 \cdot 4}}{{4R}} \Leftrightarrow$ $\boxed{R = \frac{{9\sqrt 2 }}{4}}$

: Άνισα σε ισοσκελές.png (14.99 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων ABS, AOS

παίρνω, $\displaystyle \frac{{OS}}{{AS}} = \frac{R}{6} = \frac{{3\sqrt 2 }}{8}$

Επειδή στο AOS

μία γωνία είναι διπλάσια της άλλης, θα είναι $AS^2=OS^2+OS\cdot R.$

λύνοντας το σύστημα των δύο τελευταίων εξισώσεων βρίσκω $\boxed{OS = \frac{{81\sqrt 2 }}{{92}}}$ και $\boxed{AS=\frac{54}{23}}$

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 23, 2025 11:06 am
Ισοσκελές τρίγωνο , με : , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .

Η προεκτεινόμενη , τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε τα τμήματα : .

: shape.png (30.08 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές

Άνισα σε ισοσκελές

Άνισα σε ισοσκελές

Re: Άνισα σε ισοσκελές

Re: Άνισα σε ισοσκελές

Re: Άνισα σε ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση