Μα θέλω το εμβαδόν

KARKAR · #1

: Μα θέλω το εμβαδόν.png (14.56 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Υπολογίστε το (ABC)

, γνωρίζοντας τις πλευρές AB , AC

και την διχοτόμο

.

duamba · #2

Απο ένα πόρισμα του θεωρήματος διχοτόμων γνωρίζουμε ότι:
Αν f_a

είναι το μήκος της διχοτόμου της $\angle BAC$ , τότε:

$f_a^2 = bc \bigl[ 1 - (\frac{a}{b+c})^2 \bigr]$

Αντικαθιστώντας για το δοθέν τρίγωνο βρίσκω: $a = \frac{10\sqrt{15}}{3}$ άρα η ημιπερίμετρος είναι $\frac{30+5\sqrt{15}}{3}$ , και απο Ήρωνα βρίσκω:

$(ABC) = \frac{35\sqrt{11}}{3}$

Ενδιαφέρομαι να δω μια πιο γεωμετρικά γόνιμη λύση.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 22, 2025 7:20 pm
Μα θέλω το εμβαδόν.pngΥπολογίστε το , γνωρίζοντας τις πλευρές και την διχοτόμο .

Είναι

, ισοδύναμα με $\theta = A/2$ , είναι

$\dfrac {1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \sin \theta + \dfrac {1}{2} \cdot 7 \cdot 14 \cdot \sin \theta = \dfrac {1}{2} \cdot 6 \cdot 14 \cdot \sin 2 \theta = \dfrac {1}{2} \cdot 6 \cdot 14 \cdot 2 \sin \theta \cos \theta$

Άρα μετά την απλοποίηση του $\sin \theta$ βρίσκουμε $\cos \theta = \dfrac {5}{6}$ . Έπεται $\sin \theta = \dfrac {\sqrt {11}}{6}$ .

Οπότε το ζητούμενο εμβαδόν (από την δεύτερη γραμμή παραπάνω) είναι

$\dfrac {1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \sin \theta + \dfrac {1}{2} \cdot 7 \cdot 14 \cdot \sin \theta = \dfrac {35\sqrt {11}}{3}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 22, 2025 7:20 pm
Μα θέλω το εμβαδόν.pngΥπολογίστε το , γνωρίζοντας τις πλευρές και την διχοτόμο .

Από θ.διχτόμου $BD= \dfrac{3a}{10} ,CD= \dfrac{7a}{10}$

Με θ.Stewart $6^2. \dfrac{7a}{10} +14^2. \dfrac{3a}{10}=a( 7^2+\dfrac{7a}{10}.\dfrac{3a}{10}) \Rightarrow a^2= \dfrac{500}{3}$

(προφανώς $\angle A<90$ )

Μεν.συνημιτόνου $\dfrac{500}{3} =36+196-168cosA \Rightarrow cosA= \dfrac{7}{18} \Rightarrow sinA= \dfrac{5 \sqrt{11} }{18}$

Από 2 (ABC)bcsinA

παίρνουμε $(ABC)= \dfrac{35 \sqrt{11} }{3}$

: μα θέλω το εμβαδόν.png (17.05 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 22, 2025 7:20 pm
Μα θέλω το εμβαδόν.pngΥπολογίστε το , γνωρίζοντας τις πλευρές και την διχοτόμο .

$\displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{(ABD)}}{{(ADC)}} = \frac{{AB \cdot AD}}{{AC \cdot AD}} = \frac{3}{7} \Leftrightarrow (ABC) = \frac{{10}}{3}(ABD)$

Θέτω BD=x

οπότε $DC=\dfrac{7x}{3}$ και με νόμο συνημιτόνων στα ABD, ADC

έχω:

: Θέλω το εμβαδόν.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {x^2} = 85 - 84\cos \theta \hfill \\ \frac{{49}}{9}{x^2} = 245 - 196\cos \theta \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \cos \theta = \frac{{85 - {x^2}}}{{84}} = \frac{{2205 - 49{x^2}}}{{1764}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\sqrt{15}}$ , $\boxed{\cos \theta = \frac{5}{6}}$

Άρα, $\displaystyle \sin \theta = \frac{{\sqrt {11} }}{6}$ και $\displaystyle (ABC) = \frac{{10}}{3}(ABD) = \frac{{10}}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \frac{{\sqrt {11} }}{6} \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC) = \frac{{35\sqrt {11} }}{3}}$

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 22, 2025 7:20 pm
Υπολογίστε το , γνωρίζοντας τις πλευρές και την διχοτόμο .

Καλημέρα!

: shape.png (23 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές

Μα θέλω το εμβαδόν

Μα θέλω το εμβαδόν

Re: Μα θέλω το εμβαδόν

Re: Μα θέλω το εμβαδόν

Re: Μα θέλω το εμβαδόν

Re: Μα θέλω το εμβαδόν

Re: Μα θέλω το εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση