OΓΚΟΣ ΟΡΘΟΚΕΝΤΡΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟΥ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Να βρεθεί ο όγκος ορθοκεντρικού τετραέδρου αν δίνονται τα μήκη δύο απέναντι ακμών του
και το μήκος της μεταξύ τους ελάχιστης απόστασης.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 03, 2024 9:04 am
Να βρεθεί ο όγκος ορθοκεντρικού τετραέδρου αν δίνονται τα μήκη δύο απέναντι ακμών του
και το μήκος της μεταξύ τους ελάχιστης απόστασης.

Έστω

ορθοκεντρικό τετράεδρο και EZ=d

η κοινή κάθετος των BC, AD.

Φέρνω

και θέτω

Λόγω της ορθογωνιότητας των BC, AD,

είναι

$D\widehat AS=90^\circ$ και $(ADS)=\dfrac{ab}{2}.$ Θα υπολογίσω τον όγκο του τετραέδρου συναρτήσει των a, b, d.

: Ορθοκεντρικό τετράεδρο.Κ.png (22.82 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

Η

ως κοινή κάθετος των BC, AD,

θα είναι κάθετη στο επίπεδο ADS

κι επειδή η

είναι παράλληλη στο

επίπεδο ADS,

το τμήμα

Θα είναι ύψος του τετραέδρου ABDS.

Τα τετράεδρα όμως ABDS

και

έχουν τον ίδιο όγκο διότι έχουν κοινή βάση ABD

και οι κορυφές C, S

βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη στο επίπεδο

της βάσης. Άρα, $\displaystyle {V_\begin{subarray}{l} ABCD \\ \end{subarray} } = {V_{ABDS}} = \frac{1}{3}(ADS) \cdot EZ \Leftrightarrow$ $\boxed{{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}abd}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Nα ευχαριστήσω το Γιώργο Βισβίκη για τη λύση του.
Το θέμα αυτό προέκυψε ψάχνοντας.
Ας δούμε το πώς κατέληξα στον τύπο που βρήκε ο Γιώργος.

Έστω ότι

η κοινή κάθετος των BC,AD

με το

να ανήκει στη

και το

στην

H

είναι ορθογώνια στην

και στην

σε δυο τεμνόμενες ευθείες.
Συνεπώς είναι κάθετη στο επίπεδο των EZ,BC

Έτσι ο ζητούμενος όγκος είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων των τετραέδρων AZBC, DZBC.

Τα δύο αυτά τετράεδρα έχουν κοινή βάση το τρίγωνο ZBC

και αντίστοιχα ύψη τα AZ,DZ.

O ζητούμενος όγκος είναι ίσος με

$\displaystyle \frac{1}{3}\left ( ZBC \right ) \cdot AZ+\frac{1}{3}\left ( ZBC \right )\cdot DZ=\frac{1}{3}\left ( ZBC \right )\left ( AZ+DZ \right )=$

$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot ZE\cdot BC\cdot AD=\frac{1}{6}\cdot ZE\cdot BC\cdot AD$

OΓΚΟΣ ΟΡΘΟΚΕΝΤΡΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟΥ

OΓΚΟΣ ΟΡΘΟΚΕΝΤΡΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟΥ

Re: OΓΚΟΣ ΟΡΘΟΚΕΝΤΡΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟΥ

Re: OΓΚΟΣ ΟΡΘΟΚΕΝΤΡΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟΥ

Μέλη σε σύνδεση