Εμβαδόν εγγεγραμμένου κύκλου προοδευτικού τριγώνου

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #1

Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ $\left( {\widehat {\rm B} > {{90}^0}} \right)$ με βάση ${\rm B}\Gamma = 4$ και ${\rm A}{\rm B} = 6$ . Έστω σημείο $\Delta$ της πλευράς ${\rm A}\Gamma$ , ώστε: ${\rm B}\Delta = 3$ και $\widehat {\Gamma {\rm B}\Delta } = 2\widehat {\rm A} = 2\theta$ .
Να υπολογιστεί η ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ κύκλου

#2

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2024 7:01 pm
Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ $\left( {\widehat {\rm B} > {{90}^0}} \right)$ με βάση ${\rm B}\Gamma = 4$ και ${\rm A}{\rm B} = 6$ . Έστω σημείο $\Delta$ της πλευράς ${\rm A}\Gamma$ , ώστε: ${\rm B}\Delta = 3$ και $\widehat {\Gamma {\rm B}\Delta } = 2\widehat {\rm A} = 2\theta$ .
Να υπολογιστεί η ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ κύκλου

Φέρνω τη διχοτόμο

του τριγώνου BDC

και θέτω

Από τα όμοια τρίγωνα ABE, BDE

έχω

$\displaystyle \frac{{AE}}{{BE}} = \frac{6}{3} = \frac{{BE}}{x} \Leftrightarrow BE = 2x$ και AE=4x.

Από την ομοιότητα τώρα των τριγώνων ABC, EBC

είναι:

: Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου.ΓΛ.png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

$\displaystyle \frac{4}{{EC}} = \frac{b}{4} = \frac{6}{{2x}} \Leftrightarrow bx = 12$ και $\displaystyle 16 = b(b - 4x),$ απ' όπου $\displaystyle 16 = {b^2} - 48 \Leftrightarrow b = 8$ και με

τον τύπο του Ήρωνα βρίσκω $(ABC)=3\sqrt{15}.$ Αλλά, $\displaystyle (ABC) = 9\rho,$ άρα $\boxed{\rho = \frac{{\sqrt {15} }}{3}}$

STOPJOHN · #3

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2024 7:01 pm
Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ $\left( {\widehat {\rm B} > {{90}^0}} \right)$ με βάση ${\rm B}\Gamma = 4$ και ${\rm A}{\rm B} = 6$ . Έστω σημείο $\Delta$ της πλευράς ${\rm A}\Gamma$ , ώστε: ${\rm B}\Delta = 3$ και $\widehat {\Gamma {\rm B}\Delta } = 2\widehat {\rm A} = 2\theta$ .
Να υπολογιστεί η ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ κύκλου

Εστω ότι $\hat{SAB}=\hat{BAC}=\theta$ τότε το τετράπλευρο ASBD

είναι εγράψιμο σε κύκλο και τα τρίγωνα ASC,BDS

είναι όμοια με $\hat{DSB}=\theta ,SB=BD=3,DC=x,\dfrac{3}{AS}=\dfrac{4}{AS}=\dfrac{x}{7}\Rightarrow AC=\dfrac{28}{x},AS=\dfrac{21}{x}$
Στο τρίγωνο ASC

με θεώρημα $Stewart,x=\dfrac{7}{2},a=8,$

Απο τον Τύπο του Ηρωνα και $E=\tau \rho ,\rho =\dfrac{\sqrt{15}}{3}$

Εμβαδόν εγγεγραμμένου κύκλου προοδευτικού τριγώνου

Εμβαδόν εγγεγραμμένου κύκλου προοδευτικού τριγώνου

Re: Εμβαδόν εγγεγραμμένου κύκλου προοδευτικού τριγώνου

Re: Εμβαδόν εγγεγραμμένου κύκλου προοδευτικού τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση