ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #1

Δίνεται τετράγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με πλευρά

. Παίρνουμε σημείο ${\rm K}$ του ${\rm B}\Gamma$ ώστε ${\rm B}{\rm K} = 2$ . Αν ${\rm M}$ σημείο της διαγωνίου του ${\rm A}\Gamma$ , να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος ${\rm M}{\rm B} + {\rm M}{\rm K}$ .

#2

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 02, 2024 1:56 pm
Δίνεται τετράγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με πλευρά . Παίρνουμε σημείο ${\rm K}$ του ${\rm B}\Gamma$ ώστε ${\rm B}{\rm K} = 2$ . Αν ${\rm M}$ σημείο της διαγωνίου του ${\rm A}\Gamma$ , να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος ${\rm M}{\rm B} + {\rm M}{\rm K}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 02, 2024 1:56 pm
Δίνεται τετράγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με πλευρά . Παίρνουμε σημείο ${\rm K}$ του ${\rm B}\Gamma$ ώστε ${\rm B}{\rm K} = 2$ . Αν ${\rm M}$ σημείο της διαγωνίου του ${\rm A}\Gamma$ , να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος ${\rm M}{\rm B} + {\rm M}{\rm K}$ .

Φέρνω $KL\bot AC,$ οπότε η

είναι μεσοκάθετη του KL.

: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος.png (14.2 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές

$\displaystyle MB + MK = MB + ML \geqslant BL,$ άρα το μήκος του

είναι η ζητούμενη ελάχιστη τιμή

και με Πυθαγόρειο στο CBL

βρίσκω $\boxed{{(MB + MK)_{\min }} = BL = 10}$

KARKAR · #4

: 10άρι.png (9.02 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές

Ας υποθέσουμε ότι ο θεματοδότης θέλοντας λίγο παραπάνω "μυστήριο" , έδινε μόνο το ορθογώνιο

και ισοσκελές ABC

. Ίσως τότε ο λύτης να προσανατολιζόταν σε λύση με χρήση συντεταγμένων ,

απ' όπου : $s(x)=\sqrt{x^2+(6-x)^2}+\sqrt{x^2+(8-x)^2}$ και με χρήση παραγώγων

θα εύρισκε : $s_{min}=10$ , για : $x=\dfrac{24}{7}$ .

Ερώτημα : Μπορούμε να βρούμε το παραπάνω $s_{min}$ , με άλλον τρόπο ;

Διόρθωσα το $s_{max}$ σε $s_{min}$ , βλέπε την παρατήρηση του Μιχάλη παρακάτω .

Σημ : Γιώργο , έχω τη γνώμη , ότι σε θέματα ακροτάτου ο άγραφος νόμος προβλέπει ότι εκτός της ακρότατης τιμής

πρέπει να δίνουμε και την θέση στην οποία αυτή επιτυγχάνεται ( στη λύση σου το

βρίσκεται σε "ύψος $\dfrac{32}{7}$ ).

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 02, 2024 7:13 pm
Ίσως τότε ο λύτης να προσανατολιζόταν σε λύση με χρήση συντεταγμένων ,

απ' όπου : $s(x)=\sqrt{x^2+(6-x)^2}+\sqrt{x^2+(8-x)^2}$ και με χρήση παραγώγων

θα εύρισκε : $s_{max}=10$ , για : $x=\dfrac{24}{7}$ .

Ερώτημα : Μπορούμε να βρούμε το παραπάνω $s_{max}$ , με άλλον τρόπο ;

Θανάση, μήπως εννοείς $s_{min}$ και όχι $s_{max}$ , όπως άλλωστε ρώτησε ο θεματοθέτης;

Το λέω αυτό γιατί το max το πετυχαίνουμε στο δεξί άκρο, δηλαδή για x=8

, ενώ το $x=\dfrac{24}{7}$ είναι για το ελάχιστο.

Αν μείνουμε στο ελάχιστο, τότε ο τρόπος εύρεσής του είναι είτε ο γνωστός αρχαίος τρόπος με συμμετρία (τον οποίο αναφέρει ο Δαμιανός ο Λαρισαίος στο "Κεφάλαια τών οπτικών υποθέσεων" και τον αποδίδει στον Ήρωνα) είτε με χρήση της Minkowski (δοδείσα είναι $\ge \sqrt { (x+6-x)^2+(x+8-x)^2} =10$ ). Υπόψη η Minkowski για n=2

, όπως εδώ, ισοδυναμεί με την Cauchy-Schwarz για n=2

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 02, 2024 7:13 pm

Σημ : Γιώργο , έχω τη γνώμη , ότι σε θέματα ακροτάτου ο άγραφος νόμος προβλέπει ότι εκτός της ακρότατης τιμής

πρέπει να δίνουμε και την θέση στην οποία αυτή επιτυγχάνεται ( στη λύση σου το βρίσκεται σε "ύψος $\dfrac{32}{7}$ ).

Θανάση, στη λύση μου η θέση του

είναι απόλυτα ορισμένη. Είναι το σημείο τομής του

με τη διαγώνιο AC,

δηλαδή όταν τα B, M, L

καταστούν συνευθειακά. Δεν νομίζω ότι ο αριθμητικός υπολογισμός προσφέρει κάτι.

KARKAR · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 02, 2024 9:10 pm

Αν μείνουμε στο ελάχιστο, τότε ο τρόπος εύρεσής του είναι είτε ο γνωστός αρχαίος τρόπος με συμμετρία

(τον οποίο αναφέρει ο Δαμιανός ο Λαρισαίος στο "Κεφάλαια τών οπτικών υποθέσεων" και τον αποδίδει στον Ήρωνα)

είτε με χρήση της Minkowski ( δοδείσα είναι $\geq \sqrt { (x+6-x)^2+(x+8-x)^2} =10$ .

Για χάρη των αναγνωστών γράφω αναλυτικότερα τη λύση του Μιχάλη : Η ανισοϊσότητα Minkowski , είναι η :

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$ , με την ισότητα να πιάνεται για : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$

Συνεπώς με μια αναδιάταξη χωρίς βλάβη , η δοθείσα γίνεται :

$\sqrt{(6-x)^2+x^2}+\sqrt{x^2+(8-x)^2}\geq \sqrt{(6-x+x)^2+(x+8-x)^2}=10$ ,

με την ισότητα για : $\dfrac{6-x}{x}=\dfrac{x}{8-x}$ , δηλαδή για : $x=\dfrac{24}{7}$ .

Ο "αρχαίος τρόπος " μου είναι άγνωστος , μήπως υπάρχει κάποια παραπομπή ;

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 03, 2024 9:20 am
Ο "αρχαίος τρόπος " μου είναι άγνωστος , μήπως υπάρχει κάποια παραπομπή ;

Εννοούσα τον γνωστό: Δίνονται δύο σημεία A,B

και ευθεία

. Να βρεθεί σημείο

στην ευθεία, ώστε το άθροισμα AM+MB

να είναι ελάχιστο.

Συχνά δίνεται σε πρακτική μορφή όπως "Πώς πρέπει να κτιστεί ο συντομότερος δρόμος που ενώνει δύο χωριά A,B

αν πρέπει να περνάει από το ποτάμι

;

Υπενθυμίζω ότι λύση θεωρεί το συμμετρικό

του

, και το

είναι η τομή της

με την

. H απόδειξη ότι είναι η ελάχιστη διαδρομή χρησιμοποιεί την τριγωνική ανισότητα.

Το αρχικό πρόβλημα στο ποστ #1 είναι επαναδιατύπωση του παραπάνω, όπου το ποτάμι είναι η διαγώνιος $A\Gamma$ . Η λύση του Γιώργου είναι σε αυτό το μήκος κύματος.

Tην παραπομπή στον Δαμιανό τον Λαρισαίο την έγραψα για να δει κανείς την πηγή του θέματος, γιατί δεν είναι γνωστή στο ευρύ κοινό.
.

ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

Re: ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ

Μέλη σε σύνδεση