Μέγιστο συνημίτονο

KARKAR · #1

: Μέγιστο συνημίτονο.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο της ακτίνας

, ενός ημικυκλίου διαμέτρου

και το

κινείται

επί του τόξου . Στο μέσο

του

φέρω κάθετη , η οποία τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο

( προς το μέρος του

) . Βρείτε το μέγιστο του $\cos\theta$ , ( $\theta= \widehat{SMT}$ ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 04, 2023 11:15 am
Μέγιστο συνημίτονο.pngΤο σημείο είναι το μέσο της ακτίνας , ενός ημικυκλίου διαμέτρου και το κινείται

επί του τόξου . Στο μέσο του φέρω κάθετη , η οποία τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο

( προς το μέρος του ) . Βρείτε το μέγιστο του $\cos\theta$ , ( $\theta= \widehat{SMT}$ ) .

: Μέγιστο συνημίτονο.png (15.16 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές

Με

και

την ακτίνα του ημικυκλίου, από θ. Πτολεμαίου (εκτός ύλης) είναι:

$\displaystyle rx + 2rx \geqslant 2rSM \Leftrightarrow 3x \geqslant 4MN \Leftrightarrow \frac{{MN}}{x} \leqslant \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos \theta \leqslant \frac{3}{4}$ με την ισότητα να

ισχύει όταν το OMTS

είναι εγγράψιμο, απ' όπου προκύπτει $\displaystyle MS = \frac{{3r\sqrt 2 }}{2}.$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 04, 2023 11:15 am
Μέγιστο συνημίτονο.pngΤο σημείο είναι το μέσο της ακτίνας , ενός ημικυκλίου διαμέτρου και το κινείται

επί του τόξου . Στο μέσο του φέρω κάθετη , η οποία τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο

( προς το μέρος του ) . Βρείτε το μέγιστο του $\cos\theta$ , ( $\theta= \widehat{SMT}$ ) .

: Ελάχιστο συνημίτονο_Ανάλυση.png (32.14 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές

Προφανώς , $\widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {TOZ} = 2\widehat {\theta _{}^{}}$ .

Επειδή η συνάρτηση $y = \cos \theta$ είναι γνήσια φθίνουσα στο $[0,\pi ]$ αρκεί η γωνία $2\theta$ να γίνει ελάχιστη .

Προς τούτο πάλι αρκεί η χορδή

να είναι ελάχιστη , δηλαδή $TZ \bot AB$ .

Τότε : το τετράπλευρο TAZM

είναι ρόμβος και
.

: Ελάχιστο συνημίτονο_κατασκευή.png (31.71 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές

.
η προβολή

του

στην

είναι το μέσο του

με συνέπεια:

$\boxed{{{\left( {\cos \theta } \right)}_{\max }} = \frac{{MN}}{{MT}} = \frac{{MN}}{{TA}} = \frac{{BN}}{{BT}} = \frac{3}{4}}$

Μέγιστο συνημίτονο

Μέγιστο συνημίτονο

Re: Μέγιστο συνημίτονο

Re: Μέγιστο συνημίτονο

Μέλη σε σύνδεση