Μοναδικό σημείο

#1

: Μοναδικό σημείο.png (8.02 KiB) Προβλήθηκε 1373 φορές

Στο τραπέζιο ABCD

με $\widehat A=\widehat D=90^\circ$ και AB=9, CD=4,

υπάρχει μοναδικό σημείο

της πλευράς

ώστε $B\widehat MC=90^\circ.$ Να βρείτε τα μήκη των πλευρών

και

24 ώρες για μαθητές.

Henri van Aubel · #2

Είναι λόγω εφαπτομένης $\displaystyle \angle DMC=\angle MBC\Rightarrow \tan \angle DMC=\frac{\displaystyle\frac{4}{\sin \angle DMC}}{\displaystyle \frac{9}{\cos\angle DMC}}=\frac{4}{9\tan \angle DMC}$

Άρα είναι $\displaystyle \tan \angle DMC=\frac{2}{3}$

Eίναι $\displaystyle \frac{4}{DM}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow DM=6$ και $\displaystyle \frac{AM}{9}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow AM=6$

Οπότε AD=12

και $BC=\sqrt{AD^{2}+\left ( AB-DC \right )^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$

orestisgotsis · #3

Κενό

Henri van Aubel · #4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 31, 2023 2:28 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 31, 2023 1:18 pm
Είναι λόγω εφαπτομένης $\displaystyle \angle DMC=\angle MBC\Rightarrow \tan \angle DMC=\frac{\displaystyle\frac{4}{\sin \angle DMC}}{\displaystyle \frac{9}{\cos\angle DMC}}=\frac{4}{9\tan \angle DMC}$

Άρα είναι $\displaystyle \tan \angle DMC=\frac{2}{3}$

Eίναι $\displaystyle \frac{4}{DM}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow DM=6$ και $\displaystyle \frac{AM}{9}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow AM=6$

Οπότε και $BC=\sqrt{AD^{2}+\left ( AB-DC \right )^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$
Έχετε την καλοσύνη να εξηγήσετε αναλυτικά γιατί
γωνία DMC = γωνία MBC ;

Γειά σου Ορέστη.

Ο κύκλος διαμέτρου

εφάπτεται του τμήματος

στο

άρα το τμήμα

εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BMC,

οπότε $\angle DMC^{\chi o\varrho \delta \eta -\epsilon \varphi a\pi \tau o\mu \epsilon \nu \eta }=\angle MBC$

orestisgotsis · #5

Κενό

#6

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 31, 2023 4:42 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 31, 2023 2:51 pm
Μου φαίνεται ότι κάτι άλλο παίζει με αυτή την άσκηση, διότι
τέτοια τραπέζια με αυτές τις υποθέσεις υπάρχουν άπειρα.

Όχι, Ορέστη. Το τραπέζιο με αυτές τις υποθέσεις είναι μοναδικό.

orestisgotsis · #7

Κενό

#8

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 31, 2023 6:11 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 31, 2023 5:42 pm

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 31, 2023 4:42 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 31, 2023 2:51 pm
Μου φαίνεται ότι κάτι άλλο παίζει με αυτή την άσκηση, διότι
τέτοια τραπέζια με αυτές τις υποθέσεις υπάρχουν άπειρα.

Όχι, Ορέστη. Το τραπέζιο με αυτές τις υποθέσεις είναι μοναδικό.
Μοναδικό σημείο.png

Κύριε Γιώργο, πείτε μου σας παρακαλώ, ποιό λογικό σφάλμα κάνω ;

Καλησπέρα Ορέστη,

το σημείο

στο σχήμα σου δεν είναι μοναδικό, γιατί ο κύκλος με διάμετρο την

τέμνει την

σε δύο σημεία.

orestisgotsis · #9

Κενό

abgd · #10

: trap;ezio.png (32.99 KiB) Προβλήθηκε 1141 φορές

Το σημείο $\displaystyle{M}$ είναι το μοναδικό σημείο του τμήματος $\displaystyle{AD}$ από το οποίο το τμήμα $\displaystyle{BC}$ φαίνεται υπό ορθή γωνία.

Δεν υπάρχει σημείο στις προεκτάσεις του $\displaystyle{AD}$ από το οποίο το $\displaystyle{BC}$ να φαίνεται υπό ορθή γωνία, αφού για τυχαίο σημείο $\displaystyle{M'}$ η γωνία $\displaystyle{BM'C=\phi}$ θα είναι οξεία.

Άρα η ευθεία $\displaystyle{AD}$ θα είναι εφαπτομένη του κύκλου με διάμετρο την $\displaystyle{BC}$ .

Έστω $\displaystyle{K}$ το μέσο της $\displaystyle{BC}$ .

Είναι $\displaystyle{MK\perp AD}$ και $\displaystyle{K}$ μέσο της $\displaystyle{BC}$ άρα $\displaystyle{MK}$ διάμεσος του τραπεζίου.

Βέβαια η $\displaystyle{MK}$ είναι και διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle{BMC}$ .

Έτσι θα είναι: $\displaystyle{BC=2MK=AB+DC=13}$

Αν τώρα θέσουμε $\displaystyle{MA=MD=x}$ , από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle{MDC, \ \ BAM}$ θα έχουμε:

$\displaystyle{\frac{x}{9}=\frac{4}{x}\Leftrightarrow x^2=36\Leftrightarrow x=6}$

Οπότε $\displaystyle{AD=12}$

Σημείωση: Θα μπορούσαμε να βρούμε το μήκος της $\displaystyle{AD}$ και με πυθαγόρειο, αν φέρναμε το ύψος από το $\displaystyle{C}$

Φανης Θεοφανιδης · #11

: 411.png (15.54 KiB) Προβλήθηκε 1130 φορές

Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα το τρίγωνο CBP

είναι ισοσκελές (αφού η

είναι ύψος και διχοτόμος).
Οπότε το

είναι μέσο της

.
Άρα τα τρίγωνα PMA, MDC

είναι ίσα.
Επομένως $PA=4\Rightarrow BP=13\Rightarrow BC=13$ .
Επίσης $MA^{2}=PA\cdot AB\Rightarrow MA=6\Rightarrow MD=6$ .

#12

Να σημειώσω απλώς ότι αν AD<12

δεν υπάρχει τέτοιο σημείο

Δηλαδή

είναι το ελάχιστο μήκος που μπορεί να έχει το

ώστε $B\widehat MC=90^\circ.$

: Μοναδικό σημείο.β.png (9.76 KiB) Προβλήθηκε 1073 φορές

Πράγματι, $\displaystyle B{C^2} = M{C^2} + M{B^2} \Leftrightarrow {(x + y)^2} + 25 = {x^2} + 16 + {y^2} + 81 \Leftrightarrow xy = 36$

Άρα το x+y

γίνεται ελάχιστο όταν x=y=6

που σημαίνει ότι $\boxed{A{D_{\min }} = 12}$

Μοναδικό σημείο

Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Re: Μοναδικό σημείο

Μέλη σε σύνδεση