Εξαγωνικές ανησυχίες

KARKAR · #1

: Εξαγωνικές ανησυχίες.png (11.53 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

Οι διαγώνιοι CE , DF

του κανονικού εξαγώνου , τέμνονται στο σημείο

.

α) Δείξτε ότι το πράσινο , το μαύρο και το μοβ εμβαδά είναι ίσα .

β) Δείξτε ότι : $\dfrac{(SAB)}{E_{hexagon}}=\dfrac{5}{18}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 14, 2022 8:43 am
Εξαγωνικές ανησυχίες.pngΟι διαγώνιοι του κανονικού εξαγώνου , τέμνονται στο σημείο .

α) Δείξτε ότι το πράσινο , το μαύρο και το μοβ εμβαδά είναι ίσα .

β) Δείξτε ότι : $\dfrac{(SAB)}{E_{hexagon}}=\dfrac{5}{18}$ .

α) Έστω

το κέντρο του εξαγώνου και

η πλευρά του. Τα ορθογώνια τρίγωνα EFS, DCS

είναι προφανώς ίσα,

όπως και τα FAS, CBS.

Άρα η πράσινη και η μαύρη περιοχή είναι ισεμβαδικές. Το εμβαδόν του κανονικού εξαγώνου

είναι $\displaystyle {E_6} = 6(OAB) = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$ Εύκολα βρίσκω ότι $\displaystyle FS = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }},ES = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.$

: Εξαγωνικές ανησυχίες.png (25.27 KiB) Προβλήθηκε 684 φορές

Η μαύρη και η πράσινη περιοχή έχουν εμβαδόν $\displaystyle {E_\mu } = {E_\pi } = \frac{{EF \cdot FS}}{2} + \frac{{AF \cdot FS}}{2} = ... = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{3}{E_6},$ άρα όλες οι περιοχές έχουν ίσα εμβαδά.

β) $\displaystyle (SAB) = \frac{a}{2}\left( {SO + OM} \right) = \frac{a}{2}\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3} + \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{(SAB)}}{{{E_6}}} = \frac{5}{{18}}}$

Και μία επιπλέον πληροφορία: $\displaystyle \frac{{(SED)}}{{(SAB)}} = \frac{1}{5}$

#3

Καλησπέρα σε όλους. Μια ακόμα απάντηση στο 1ο ερώτημα, δίχως υπολογισμούς.

: 14-05-2022 Γεωμετρία.png (38.08 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές

Τα

είναι ισεμβαδικά (προφανές).

Για τη σύγκριση των (ASEZ), (SAB)+(SED)

:

ως αποστάσεις απέναντι πλευρών κανονικού εξαγώνου.

ZS = SC

, από τη σύγκριση των EZS, SDC

.

Είναι $\displaystyle \left( {SAB} \right) + \left( {EDS} \right) = \frac{{{\lambda _6} \cdot KL}}{2}$ και $\displaystyle \left( {ASEZ} \right) = \left( {ASZ} \right) + \left( {EZS} \right) = \frac{{{\lambda _6}\left( {ES + ZS} \right)}}{2} = \frac{{{\lambda _6}EC}}{2}$ , οπότε είναι ίσα.

KARKAR · #4

: Εξαγωνικές ανησυχίες.png (11.98 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Για οποιαδήποτε θέση του

στο εσωτερικό του ορθογωνίου ABDE

, το μοβ εμβαδόν

ισούται με το μισό εκείνου του ορθογωνίου , συνεπώς με το $\dfrac{1}{3}$ του εμβαδού του εξαγώνου ...

Εξαγωνικές ανησυχίες

Εξαγωνικές ανησυχίες

Re: Εξαγωνικές ανησυχίες

Re: Εξαγωνικές ανησυχίες

Re: Εξαγωνικές ανησυχίες

Μέλη σε σύνδεση