Τμήμα και συνημίτονο

KARKAR · #1

: Τμήμα και συνημίτονο.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

η υποτείνουσα

είναι διάμετρος κύκλου .

Από την κορυφή

φέρω κάθετη προς την εφαπτομένη του κύκλου στο

,

η οποία την τέμνει στο σημείο

και επίσης τέμνει τον κύκλο στο σημείο

.

α) Υπολογίστε το τμήμα

, συναρτήσει των κάθετων πλευρών a , b

.

β) Υπολογίστε το : $\cos\widehat{TAS}$ , στην περίπτωση που : a=2 , b=3

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:00 pm
Τμήμα και συνημίτονο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι διάμετρος κύκλου .

Από την κορυφή φέρω κάθετη προς την εφαπτομένη του κύκλου στο ,

η οποία την τέμνει στο σημείο και επίσης τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

α) Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των κάθετων πλευρών .

β) Υπολογίστε το : $\cos\widehat{TAS}$ , στην περίπτωση που : .

α) Tα ορθογώνια τρίγωνα BAC, BCS

είναι όμοια, οπότε $\displaystyle \frac{b}{{SC}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \frac{a}{{SB}} \Rightarrow SC = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

: Τμήμα και συνημίτονο.png (16.63 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές

$\displaystyle \angle ACS = 90^\circ + \angle BCS = 90^\circ + \angle BAC \Rightarrow \cos (ACS) = - \sin (BAC) = - \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ και με

νόμο συνημιτόνου στο ACS

είναι $\displaystyle A{S^2} = {b^2} + \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + 2b\frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cdot \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow$ $\boxed{ AS = \frac{{b\sqrt {4{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}$

β) $\displaystyle S{C^2} = SB \cdot ST \Leftrightarrow \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}ST \Leftrightarrow ST = \frac{{{b^2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{{a^2} + {b^2}}}$ και για a=2, b=3

είναι

$\displaystyle ST = \frac{{9\sqrt {13} }}{{13}},AS = \frac{{15\sqrt {13} }}{{13}} \Rightarrow \sin (TAS) = \frac{3}{5} \Leftrightarrow$ $\boxed{\cos (TAS) = \frac{4}{5}}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:00 pm
Τμήμα και συνημίτονο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι διάμετρος κύκλου .

Από την κορυφή φέρω κάθετη προς την εφαπτομένη του κύκλου στο ,

η οποία την τέμνει στο σημείο και επίσης τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

α) Υπολογίστε το τμήμα , συναρτήσει των κάθετων πλευρών .

β) Υπολογίστε το : $\cos\widehat{TAS}$ , στην περίπτωση που : .

α) $AB^{2}=4R^{2}=a^{2}+b^{2},(2),SB.ST=SC^{2},(1),$ Από τα όμοια τρίγωνα

$BCS,ABC,\hat{BCS}=\hat{BAC},\dfrac{BS}{a}=\dfrac{CS}{b}= \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\Rightarrow BS=\dfrac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, CS=\dfrac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, (1)\Rightarrow ST=\dfrac{b^{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}+b^{2}}, TB=ST-BS\Rightarrow TB=\dfrac{b^{2}-a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},x^{2}=ST^{2}+AT^{2}\Rightarrow x=b.\sqrt{\dfrac{b^{2}+4a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}, b) cos\hat{TAS}=\dfrac{AT}{x}=\dfrac{2a}{\sqrt{b^{2}+4a^{2}}}= \dfrac{4}{5}$

Τμήμα και συνημίτονο

Τμήμα και συνημίτονο

Re: Τμήμα και συνημίτονο

Re: Τμήμα και συνημίτονο

Μέλη σε σύνδεση