S 552 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Σας προτείνω το θέμα S-552 από το δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2021. H ημερομηνία υποβολής λύσεων ήταν η 15-5-2021, η οποία παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το θέμα πρότεινε ο Titu Andreescu από το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ντάλλας.


Βρείτε όλα τα τρίγωνα με για τα οποία υπάρχει εσωτερικό σημείο τέτοιο ώστε και τα μήκη των τμημάτων να σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με διαφορά και

[Doloros]

Σας προτείνω το θέμα S-552 από το δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2021. H ημερομηνία υποβολής λύσεων ήταν η 15-5-2021, η οποία παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το θέμα πρότεινε ο Titu Andreescu από το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ντάλλας.


Βρείτε όλα τα τρίγωνα με για τα οποία υπάρχει εσωτερικό σημείο τέτοιο ώστε και τα μήκη των τμημάτων να σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με διαφορά και

Αν θέσω τότε . Θέτω ακόμα και άρα .

Ισχύουν από Θ συνημίτονου στα :

Kefalonitis_1.png (16.63 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές

η άλλη τιμή δεν είναι δεκτή λόγω τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο : .

[george visvikis]

Σας προτείνω το θέμα S-552 από το δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2021. H ημερομηνία υποβολής λύσεων ήταν η 15-5-2021, η οποία παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το θέμα πρότεινε ο Titu Andreescu από το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ντάλλας.


Βρείτε όλα τα τρίγωνα με για τα οποία υπάρχει εσωτερικό σημείο τέτοιο ώστε και τα μήκη των τμημάτων να σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με διαφορά και

Είναι το τρίγωνο αυτής της άσκησης

Διατηρώ όμως κάποιες αμφιβολίες ως προς την ερμηνεία της φράσης "τα μήκη των τμημάτων σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με διαφορά "

Στην Ελλάδα συνήθως το διευκρινίζουμε π.χ, "οι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου" ή "οι σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο όχι υποχρεωτικά με αυτή τη σειρά".

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Γιώργο καλημέρα από την Κεφαλονιά. Όπως έχεις καταλάβει έκανα μετάφραση του θέματος από τα Αγγλικά. Κι εμένα μου έκανε εντύπωση ότι δεν τονίζεται η διαδοχικότητα των όρων της προόδου. Όμως στην αγγλική ορολογία αρκετές φορές υπονοείται κάτι τέτοιο, το έχω δει και σε άλλες διατυπώσεις θεμάτων. Ας το δούμε έτσι λοιπόν...

[Doloros]

Γιώργο καλημέρα από την Κεφαλονιά. Όπως έχεις καταλάβει έκανα μετάφραση του θέματος από τα Αγγλικά. Κι εμένα μου έκανε εντύπωση ότι δεν τονίζεται η διαδοχικότητα των όρων της προόδου. Όμως στην αγγλική ορολογία αρκετές φορές υπονοείται κάτι τέτοιο, το έχω δει και σε άλλες διατυπώσεις θεμάτων. Ας το δούμε έτσι λοιπόν...

Kefalonitis_5.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές

Μερικές άλλες περιπτώσεις που έκανα μου προέκυψε άτοπο. Για παράδειγμα :



Με λογισμικό προκύπτει , αλλά το σημείο δεν είναι εσωτερικό στο .