Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

[Mihalis_Lambrou]

Ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο εφάπτεται
στην υποτείνουσα σε ένα σημείο της το οποίο την χωρίζει σε δύο
ευθύγραμμα τμήματα μήκους p και q.

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει των p και q.

Ζητώ πολλές αποδείξεις. Υπάρχουν μερικές πολύ απλές.

Ας την αφήσουμε δύο εικοσιτετράωρα στους μαθητές μας.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου.png (10.87 KiB) Προβλήθηκε 993 φορές

Έχουμε πως για κάθε τρίγωνο ισχύει ότι , όπου η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Άρα .

Επομένως

Ο αρχικός τύπος του εμβαδού του τριγώνου προκύπτει ως εξής:

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου-3.png (16.62 KiB) Προβλήθηκε 949 φορές

Όπως φαίνεται από το σχήμα, το εμβαδόν είναι το άθροισμα των εμβαδών των τριών χρωματιστών τριγώνων, δηλαδή:

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου-2.png (14.77 KiB) Προβλήθηκε 949 φορές

Τα τρίγωνα με το ίδιο χρώμα είναι ίσα μεταξύ τους (είναι ορθογώνια, έχουν μία οξεία γωνία ίση και την αντίστοιχη κάθετη πλευρά ίση με ).

Μεταφέροντας τα αντίστοιχα εμβαδά τους παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου με πλευρές και είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές και και υποτείνουσα , το οποίο είναι ίσο με το αρχικό τρίγωνο.

Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

[george visvikis]

Επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο η ημιπερίμετρος (άσκηση του σχολικού)

[KARKAR]

Γιώργο , είχες προτείνει το θέμα ( κι όχι μόνο εσύ ! ) , εδώ

[rek2]

Ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο εφάπτεται
στην υποτείνουσα σε ένα σημείο της το οποίο την χωρίζει σε δύο
ευθύγραμμα τμήματα μήκους p και q.

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει των p και q.

Στο σχήμα του Διονύση:





ή