Τετράγωνο 12.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 23.png (7.62 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές

Το τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο
και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο το

τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο του
τετραγώνου στο σημείο

. Δείξτε ότι $\Gamma E=\dfrac{B\Delta }{2}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2017 8:10 pm
23.png

Το τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο
και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο το τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο του
τετραγώνου στο σημείο . Δείξτε ότι $\Gamma E=\dfrac{B\Delta }{2}$ .

Με Θ.διαμέσου στο $\displaystyle \vartriangle EAC$

$\displaystyle E{A^2} + E{C^2} = 2E{O^2} + \frac{{A{C^2}}}{2} \Rightarrow {\alpha ^2} + E{C^2} = 2\frac{{{\alpha ^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {\alpha \sqrt 2 } \right)}^2}}}{2} \Rightarrow \boxed{EC = \frac{{\alpha \sqrt 2 }}{2} = \frac{{AC}}{2} = \frac{{BD}}{2}}$

: t12.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές

Φανης Θεοφανιδης · #3

Και ένα επιπλέον ερώτημα.
Δείξτε ότι ο κύκλος διχοτομεί την $E\Gamma$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2017 11:05 pm
Και ένα επιπλέον ερώτημα.
Δείξτε ότι ο κύκλος διχοτομεί την $E\Gamma$ .

$\displaystyle CG \cdot CE = H{C^2} \Rightarrow CG \cdot \frac{{\alpha \sqrt 2 }}{2} = \frac{{{\alpha ^2}}}{4} \Rightarrow \boxed{CG = \frac{{\alpha \sqrt 2 }}{4} = \frac{{CE}}{2}}$

: t12.png (11.58 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2017 8:10 pm
23.png

Το τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο
και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο το τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο του
τετραγώνου στο σημείο . Δείξτε ότι $\Gamma E=\dfrac{B\Delta }{2}$ .

Και μία λύση εκτός φακέλου με αναλυτική γεωμετρία:

Με αρχή των αξόνων το

, θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι O(1,1)

το κέντρο του μικρού κύκλου και C(2,2)

. Θα υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου E(x_1,y_1)

Η εξίσωση του μικρού κύκλου θα είναι (x-1)^2+(y-1)^2=1

και του μεγάλου θα είναι x^2+y^2=4

.

Λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων βρίσκουμε ότι:

$E(x_1,y_1)= \left(\dfrac{5-\sqrt{7}}{4}, \dfrac{5+\sqrt{7}}{4}\right)$ ή $E(x_1,y_1)= \left(\dfrac{5+\sqrt{7}}{4}, \dfrac{5-\sqrt{7}}{4}\right)$

Η δεύτερη απορρίπτεται αφού αφορά το άλλο σημείο τομής των δύο κύκλων, όπως φαίνεται στο αρχικό σχήμα.

Η απόσταση του

από τo

είναι:

$\sqrt{\left( 2- \dfrac{5-\sqrt{7}}{4}\right)^2 +\left(2- \dfrac{5+\sqrt{7}}{4}\right)^2 } = \sqrt{2}$

ενώ η απόσταση του του

από τo

είναι:

$\sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$

Άρα $CE = \dfrac{BD}{2}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2017 11:05 pm
Και ένα επιπλέον ερώτημα.
Δείξτε ότι ο κύκλος διχοτομεί την $E\Gamma$ .

Συνεχίζοντας με αναλυτική γεωμετρία, βρίσκουμε τις συντεταγμένες του μέσου

του

:

$\left( \dfrac{ 2+ \dfrac{5-\sqrt{7}}{4}}{2}, \dfrac{2+ \dfrac{5+\sqrt{7}}{4}}{2} \right)= \left( 1+ \dfrac{5-\sqrt{7}}{8}, 1+ \dfrac{5+\sqrt{7}}{8} \right)$

οι οποίες επαληθεύουν την εξίσωση του μικρού κύκλου:

(x-1)^2+(y-1)^2=1

.

Άρα το

ταυτίζεται με το

και το ζητούμενο έπεται.

#7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 10, 2017 11:05 pm
Και ένα επιπλέον ερώτημα.
Δείξτε ότι ο κύκλος διχοτομεί την $E\Gamma$ .

: Τετράγωνο 12..png (15.17 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές

Έστω

το μέσο του

και

το σημείο τομής του με τον κύκλο. Είναι $OE=OM=\dfrac{a}{2}.$

Από θεώρημα διαμέσου: $\displaystyle O{N^2} = \frac{{2O{E^2} + 2O{C^2} - E{C^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow ON = \frac{a}{2}$

κι επειδή το

είναι διαφορετικό του

θα ταυτίζεται με το

Τετράγωνο 12.

Τετράγωνο 12.

Re: Τετράγωνο 12.

Re: Τετράγωνο 12.

Re: Τετράγωνο 12.

Re: Τετράγωνο 12.

Re: Τετράγωνο 12.

Re: Τετράγωνο 12.

Μέλη σε σύνδεση