Μέγιστο!

[Ορέστης Λιγνός]

Δίνεται σταθερή γωνία και σταθερό σημείο στο εσωτερικό της.

Να κατασκευαστεί χορδή ώστε να μεγιστοποιείται το .

gonia.png (5.71 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Μια βοήθεια ρε παιδιά ...

[min##]

Θεωρώ σύνθεση αντιστροφής με δύναμη 1 και συμμετρίας ως προς το .(Το 1 δεν έχει σημασία,απλά είναι πιο κομψό).Αυτός ο μετασχηματισμός μετατρέπει τους κύκλους-γραμμές σε κύκλους-γραμμές.Συγκεκριμένα,οι ευθείες γίνονται κύκλοι που περνούν από το και το .
To γνωρίζουμε που βρίσκεται, ενώ το μπορεί να κατασκευαστεί κλασικά.Επιπλέον,επιλέγοντας ένα τυχαίο σημείο σε κάθε μια απ' τις και βρίσκοντας
τα αντιστροφοσύμμετρά τους (κλασικά) προσδιορίζουμε τους κύκλους-αντιστροφοσύμμετρους των ευθειών.
Μια ευθεία που περνάει από το μετατρέπεται στον εαυτό της, ενώ για τα ισχύει και άρα αναζητούμε το μέγιστο του .
Το πρόβλημα τώρα ανάγεται στο να βρούμε τμήμα μέγιστου μήκους με άκρα στους δύο κύκλους που να περνάει από το .Τα τρίγωνα (για διάφορα ) είναι όμοια (spiral similarity) και επομένως το μέγιστο του επιτυγχάνεται όταν επιτυγχάνεται το μέγιστο των ,δηλαδή για αντιδιαμετρικά στους δύο κύκλους ως προς το .
Συνοψίζοντας, για να βρεθούν τα του προβλήματος λειτουργούμε ως εξής:Επιλέγοντας τυχαία σημεία στις πλευρές της δοσμένης γωνίας και φτιάχνοντας τους αντιστροφοσύμμετρους κύκλους των ευθειών,βρίσκουμε το αντιστροφοσύμμετρο του (είτε κατασκευάζοντάς το είτε βλέποντας που κόβει ο ένας κύκλος τον άλλο) και έπειτα πάιρνουμε τα αντιδιαμετρικά του ως προς τους 2 κύκλους.Αυτά τα σημεία είναι τα και παίρνοντας τα αντιστροφοσύμμετρά τους παίρνουμε τα ζητούμενα .
Να σημειωθεί ότι το κλειδί στην ουσία είναι ότι με την αντιστροφή κατασκευάζουμε το μήκος που ζητάει η άσκηση() κάτι που δίνει μια πολύ ευκολότερη αντιμετώπιση.(μόλις συνειδητοποίησα ότι είναι εκτός φακέλου...Παρόλα αυτά μπορεί να τροποποιηθεί).