Τετράγωνο-23

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 33.png (7.13 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Το τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο και

το
κέντρο του. Με κέντρο το

και ακτίνα την

γράφω το κόκκινο τεταρτοκύκλιο,
ενώ με κέντρο το $\Delta$ και ακτίνα την $\Delta A$ γράφω το μπλε τεταρτοκύκλιο.
Αν η κοινή τους χορδή

τέμνει την

στο

, δείξτε ότι BP=3AP

.

Ορέστης Λιγνός · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
33.png
Το τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο και το
κέντρο του. Με κέντρο το και ακτίνα την γράφω το κόκκινο τεταρτοκύκλιο,
ενώ με κέντρο το $\Delta$ και ακτίνα την $\Delta A$ γράφω το μπλε τεταρτοκύκλιο.
Αν η κοινή τους χορδή τέμνει την στο , δείξτε ότι .

Έστω

το σημείο τομής της

με την

.

Έστω $\boxed{AD=ZD=2a}$ (1).

Τότε $\boxed{BO=BZ=a\sqrt{2}, BD=2a\sqrt{2}}$ (2)

Η

είναι η κοινή χορδή των δύο τεταρτοκυκλίων, άρα $BD \perp ZE \Leftrightarrow BD \perp ZK$ .

Τότε, από το κριτήριο καθετότητας έχουμε DK^2-BK^2=ZD^2-BZ^2.

Άρα, από τις σχέσεις (1), (2) έχουμε $ZD^2-BZ^2=(2a)^2-(a\sqrt{2})^2=2a^2 \Leftrightarrow \boxed{DK^2-BK^2=2a^2}$ (3) .

Όμως, $DK+BK=BD=2a\sqrt{2} \Leftrightarrow \boxed{DK+BK=2a\sqrt{2}}$ (4) .

Από τις σχέσεις (3) , (4) έχουμε $\displasytyle 2a^2=DK^2-BK^2=(DK-BK) \cdot (DK+BK)=2a\sqrt{2} \cdot (DK-BK) \Leftrightarrow$

$\boxed{DK-BK=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}$ (5).

Λύνοντας το σύστημα των (4) , (5) παίρνουμε $BK=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}, \, DK=\dfrac{5a\sqrt{2}}{4}$ .

Το PADK

είναι εγγράψιμο (απέναντι ορθές), άρα $BP \cdot AB=BK \cdot BD \Leftrightarrow BP \cdot 2a=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4} \cdot 2a\sqrt{2}=3a^2$ .

Εύκολα πλέον $BP=\dfrac{3a}{2}, \, AP=AB-BP=2a-\dfrac{3a}{2}=\dfrac{a}{2} \Leftrightarrow AP=\dfrac{a}{2}$ .

Άρα, $BP=\dfrac{3a}{2}=3AP \Leftrightarrow \boxed{BP=3AP}$ .

#3

Ας είναι $AB = AD = BC = CD = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AP = x$ . Θα είναι δε $\boxed{BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}$

Από τη δύναμη του

ως προς τους δύο κύκλους έχω :

: τετράγωνο 23.png (17.46 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

$\left\{ \begin{gathered} PZ \cdot PE = P{A^2} \hfill \\ PZ \cdot PE = P{B^2} - B{O^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{{x^2} = {{(a - x)}^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}$ και άρα : $\boxed{x = \frac{a}{4}}$ Δηλαδή $\boxed{PB = 3PA}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:33.png

Το τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο και το
κέντρο του. Με κέντρο το και ακτίνα την γράφω το κόκκινο τεταρτοκύκλιο,
ενώ με κέντρο το $\Delta$ και ακτίνα την $\Delta A$ γράφω το μπλε τεταρτοκύκλιο.
Αν η κοινή τους χορδή τέμνει την στο , δείξτε ότι .

Έστω $\displaystyle{HP = y,AP = x}$ .Τότε, $\displaystyle{\boxed{x + y = \alpha - \frac{{\alpha \sqrt 2 }}{2}}}$ και $\displaystyle{{x^2} = PZ \cdot PE = PH \cdot PK \Rightarrow \boxed{{x^2} = y\left( {y + \alpha \sqrt 2 } \right)}}$

Λύνοντας το σύστημα παίρνουμε $\displaystyle{\boxed{x = \frac{\alpha }{4}},\boxed{y = \frac{{\alpha \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}{4}}}$ οπότε $\displaystyle{\boxed{BP = \frac{{3\alpha }}{4} = 3PA}}$

: T23png.png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

Τετράγωνο-23

Τετράγωνο-23

Re: Τετράγωνο-23

Re: Τετράγωνο-23

Re: Τετράγωνο-23

Μέλη σε σύνδεση