Ενδιαφέρουσα παραλληλία

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA174 Ενδιαφέρουσα παραλληλία.png (48.89 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

Οι προεκτάσεις των πλευρών BA, BC

παραλληλογράμμου ABCD

τέμνουν τυχαίο κύκλο, που διέρχεται από τα A, C

,

στα

αντίστοιχα και έστω

το μέσον του

.

Αν οι BD, BM

συναντούν τον περίκυκλο BST

στα

αντίστοιχα, δείξτε ότι $PQ\parallel ST$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Μια λύση εκτός φακέλου...

Φέρνουμε την

και έστω

το σημείο τομής της με την

. Προφανώς, AN=NC

.

Το τετράπλευρο ACTS

είναι εγγράψιμο, συνεπώς από γνωστό λήμμα ισχύει ότι η

είναι η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου BST

.

Η

είναι διάμεσος του τριγώνου BST

, άρα από τις ιδιότητες της συμμετροδιαμέσου προκύπτει ότι $\widehat{PBT}=\widehat{QBS}$ .

Φέρνουμε τις

και

και από εγγεγραμμένες γωνίες και την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι $\widehat{PST}=\widehat{QTS}$ .

Όμως το τετράπλευρο PQTS

είναι εγγράψιμο, άρα προκύπτει ότι είναι ισοσκελές τραπέζιο, συνεπώς PQ//ST

.

Σταμ. Γλάρος · #3

Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια...

: Ενδιαφέρουσα παραλληλία.png (36.97 KiB) Προβλήθηκε 760 φορές

Φέρουμε την διαγώνιο AC.

Το τετράπλευρο ACTS

είναι εγγεγραμμένο.

Συνεπώς $\angle \vartheta =\angle \kappa$ και $\angle \varphi =\angle \omega$ .
Άρα τα τρίγωνα $\triangle ABC$ και $\triangle BST$ είναι όμοια, επομένως ισχύει:
$\dfrac{BC}{BS}=\dfrac{AC}{ST}=\dfrac{2HC}{2SM}=\dfrac{HC}{SM}$ .

Αφού στα τρίγωνα $\triangle BHC , \triangle BMS$ έχουμε $\angle B$ : κοινή και
$\dfrac{BC}{BS}=\dfrac{HC}{SM}$ από το 2ο κριτήριο ομοιότητος προκύπτει ότι είναι όμοια.
Συνεπώς $\angle HBC=\angle SBM.$ (1)
Αφαιρώντας κατά μέλη από την (1) την γωνία $\angle HBM$ προκύπτει : $\angle QBT=\angle SBP.$
Άρα τα τόξα SP, QT

είναι ίσα συνεπώς και οι αντίστοιχες χορδές ίσες.
Άρα και $PQ \parallel ST.$
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Re: Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Re: Ενδιαφέρουσα παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση