Απλή_3

#1

: Μισό παραλληλόγραμμο.png (10.74 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

του σχήματος , το σημείο

της πλευράς

είναι τέτοιο ώστε : MB = MC = MP

, όπου

το μέσο της

.

Έστω ακόμα

το μέσο του

. Δείξετε ότι (ABCD) = 2(BMPDN)

.

Νίκος

chris_konst · #2

Doloros έγραψε:
Στο παραλληλόγραμμο του σχήματος , το σημείο της πλευράς είναι τέτοιο ώστε : , όπου το μέσο της . Έστω ακόμα το μέσο του . Δείξετε ότι .

: parallhlogrammo.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές

Είναι $MP=MB = MC = \frac{BC}{2}$ , άρα το τρίγ. PBC

είναι ορθογώνιο στο

και το

ύψος του παραλληλογράμμου. Φέρνουμε επίσης $\displaystyle{AQ \perp DC}$ και προφανώς $AQ= \upsilon = BP$ .

Είναι: $\displaystyle{ (BPM) = \frac{1}{2} (BPC) }$ (αφού

διάμεσος) , άρα $\displaystyle{ \boxed{(BPM) = \frac{1}{4} \upsilon (PC) \quad (1)}}$
Aντίστοιχα: $\displaystyle{ (BPN) = \frac{1}{2} (BPA) \Leftrightarrow \boxed{(BPN) = \frac{1}{4} \upsilon (AB) \quad (2)}}$ και $\displaystyle{ (DPN) = \frac{1}{2} (APD) \Leftrightarrow \boxed{(DPN) = \frac{1}{4} \upsilon (PD) \quad (3)}}$ .

Προσθέτουμε τις (1), (2), (3)

και παίρνουμε $\displeystyle{(BMPDN) = \frac{1}{4} \upsilon (DC+AB) = \frac{1}{4} \upsilon 2AB \Leftrightarrow \boxed {(BMPDN) = \frac{1}{2} (ABCD)}}$

chris · #3

$\left(ABCD \right)=\left(NBMPD \right)+\left(PMC \right)+\left(ADN \right)+\left(ANB \right)=\left(NBMPD \right)+\left(PMB \right)+\left(PDN \right)+\left(PNB \right)=2\left(NBMPD \right)$

Νομίζω το

μπορεί να είναι τυχαίο σημείο επί της

, δεν χρειάζεται η συνθήκη $PM=\frac{BC}{2}.$

ealexiou · #4

Λίγο γενικότερα

: Απλή_3.png (15.89 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές

Απλή_3

Απλή_3

Re: Απλή_3

Re: Απλή_3

Re: Απλή_3

Μέλη σε σύνδεση