Τρεις κύκλοι σε τραπέζιο

polysindos · #1

Ο εγγεγραμμένος κύκλος σε τραπέζιο ABCD

με

έχει ακτίνα 45cm

.Οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα ABC

και

έχουν αντίστοιχα ακτίνες 20cm

και

.Να υπολογίσετε τις πλευρές του τραπεζίου αν οι γωνίες

και

είναι ορθές .

polysindos · #2

Έγινε συμπλήρωση.

#3

polysindos έγραψε:Ο εγγεγραμμένος κύκλος σε τραπέζιο με έχει ακτίνα .Οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα και έχουν αντίστοιχα ακτίνες και .Να υπολογίσετε τις πλευρές του τραπεζίου αν οι γωνίες και είναι ορθές .

Καλησπέρα.
Τώρα μάλιστα .

Σε κλίμακα 1 προς 5 και μονάδα μέτρησης

: τρείς κύκλοι κια ένα τραπέζιο.png (17.62 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Δηλαδή :

Και το σχήμα με τις ακριβείς τιμές ( κατασκευή με τις προδιαγραφές Ευκλείδειου Γεωμετρίας -ο υπηρέτης - λογισμικό- έδωσε τ' αποτελέσματα)

: τρείς κύκλοι κια ένα τραπέζιο_ok.png (28.84 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

Να σημειώσουμε ακόμα ότι η τιμή της ακτίνας του πιο μικρού από τους εγγεγραμμένους κύκλους είναι μάλλον περιττό δεδομένο.

Νίκος

chris_konst · #4

polysindos έγραψε:Ο εγγεγραμμένος κύκλος σε τραπέζιο με έχει ακτίνα .Οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα και έχουν αντίστοιχα ακτίνες και .Να υπολογίσετε τις πλευρές του τραπεζίου αν οι γωνίες και είναι ορθές .

: file.php.png (33.98 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

Στο σχήμα του Doloros: Είναι $\displaystyle{ OF \perp AB, OG \perp AD, OH \perp DC }$ ( $\displaystyle{ F,G, H}$ σημεία επαφής του κόκκινου κύκλου κέντρου $\displaystyle{O}$ με τις $\displaystyle{AB, AD, DC}$ αντίστοιχα), οπότε το $\displaystyle{AFOG}$ είναι τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{ r=45}$ (ρόμβος πλευράς

με μια ορθή). Αντίστοιχα το $\displaystyle{DGOH}$ είναι επίσης τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{ r=45}$ , άρα $\displaystyle{\boxed{AD =2r =90}}$ . Επίσης το $\displaystyle{DPKQ}$ τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{ r=30}$ .

Άρα $\displaystyle{ AE =AP =AD-DP \Leftrightarrow \boxed{AE = 60} }$ , οπότε στο ορθ. τριγ. $\displaystyle{AEK}$ είναι $\displaystyle{\tan A_1=\frac{EK}{AE} = \frac{1}{2}}$ . H $\displaystyle{AK}$ είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\widehat {DAC} \equiv \hat{\phi} }$ , και αφού $\displaystyle{\hat{A_1}=\hat{\phi}/2}$ θα είναι:

$\displaystyle{\tan \phi = \frac{2\tan A_1}{1-\tan^2 A_1} =\frac{4}{3}}$ . Άρα $\displaystyle{ \tan {\phi} = \frac{DC}{AD}=\frac{4}{3} \Leftrightarrow \boxed{DC=120} }$ .

Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε την Πρόταση: «Η διάμετρος του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος σε ορθογώνιο τραπέζιο, είναι ο αρμονικός μέσος των βάσεων του τραπεζίου». Μια απόδειξη είναι εδώ

Επομένως είναι: $\displaystyle{45 = \frac{120 \cdot AB}{AB + 120} \Leftrightarrow \boxed{AB=72}}$ .

Ακόμα (από ίσα εφαπτόμενα τμήματα) : $\displaystyle{BM= BS= AB- AS= AB- AE \Leftrightarrow BM =12}$

και $\displaystyle{CM = CE = CQ = DC-DQ \Leftrightarrow CM =90}$ , άρα $\displaystyle{ \boxed{BC= BM+CM =102} }$

Edit: Doloros έχεις δίκιο, δεν χρειάζεται η ακτίνα του πιο μικρού από τους τρεις κύκλους. Αν υποθέσουμε ότι έλειπε τελείως αυτός ο κύκλος από τα δεδομένα, τότε, επειδή για την περίμετρο

του ορθ. τραπεζίου ισχύει P=2(AB+DC)

(πολύ εύκολο), θα είναι: $AB+AD+DC+BC =2(AB+DC) \Leftrightarrow BC=102$

Χρήστος

polysindos · #5

Το ερώτημα είναι αν μόνο από τις ακτίνες μπορούμε να υπολογίσουμε τις πλευρές.

polysindos · #6

Η λύση μόνο με τις ακτίνες.
Το εμβαδόν του τριγώνου ADC

με δύο τρόπους μας δίνει την ισότητα
$\frac{c+d+e}{2}\cdot 30= \frac{1}{2}\cdot 90\cdot c$
15(c+d+e)= 45c

(1)
Με το ίδιο τρόπο από το τρίγωνο CAB

έχουμε την ισότητα
2(b+e)=7a

(2)
Επειδή το τραπέζιο είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο έχουμε την ισότητα
a+c=b+d

(3)
Μπορούμε να εκφράσουμε τα a,b,e

με την βοήθεια των c,d

και έχουμε τις ισότητες
e=2c-d

(4)
$a=\frac{6c-4d}{5}$ (5)
$b=\frac{11c-9d}{5}$ (6)
Με το νόμο των συνημίτονων στα τρίγωνα ABC,ADC

το $cos\vartheta$ μας δίνει την ισότητα
$\frac{e^{2}+c^{2}-d^{2}}{2ec}=\frac{a^{2}+e^{2}-b^{2}}{2ae}$
$a(e^{2}+c^{2}-d^{2})=c(a^{2}+e^{2}-b^{2})$ (7)
από την αντικατάσταση των a,b,e

στην (7)
καταλήγουμε στην εξίσωση
$135c^{3}-270c^{2}d+120cd^{2}=0$
15c(2d-3c)(4d-3c)=0

Δεκτή είναι η 4d=3c

$c=\frac{4d}{3}$
από την (4) έχουμε $e=\frac{5d}{3}$ οπότε το τρίγωνο ADC

είναι ορθογώνιο.
d=90,c=120

από την (5) και (6) έχουμε a=72,b=102

.

Τρεις κύκλοι σε τραπέζιο

Τρεις κύκλοι σε τραπέζιο

Re: Τρεις κύκλοι σε τραπέζιο

Re: Τρεις κύκλοι σε τραπέζιο

Re: Τρεις κύκλοι σε τραπέζιο

Re: Τρεις κύκλοι σε τραπέζιο

Re: Τρεις κύκλοι σε τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση