Μεσοκάθετος στη διχοτόμο

#1

: δίχα και κάθετα.png (7.69 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές

Δίδεται σκαληνό τρίγωνο ABC

με

. Η μεσοκάθετος στη διχοτόμο

τέμνει την ευθεία

στο

.

Δείξετε ότι $E{D^2} = EB \cdot EC$ .

Νίκος

ealexiou · #2

Καλησπέρα Νίκο , φίλε και δάσκαλε ότι και αν ψήφισες!

: Μεσοκάθετος στη διχοτόμο.png (20.26 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

Είναι $EA=AD\ ( \triangle EAD$ ισοσκελές) και $\angle EAO= \angle EAM+ \angle MAO =\angle EDA+ \angle DNK=$ $\angle NDK+ \angle DNK =90°$

Άρα

εφαπτομένη του γαλάζιου κύκλου (O)

και το ζητούμενο έπεται άμεσα

chris_konst · #3

: file.php.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές

Καλησπέρα,

στο ορθογώνιο τρίγωνο EAM

είναι: $\displaystyle{ \frac{\hat{E}}{2} + \hat{x} + \frac{\hat{A}}{2} = 90^{0} \Leftrightarrow \hat{E} + 2 \hat{x} + \hat{A} =180^{0} \quad (1) }$

Στο τρίγωνο EAC

είναι: $\displaystyle{ \hat{E} + \hat{x} + \hat{A} + \hat{C} =180^{0} \quad (2) }$

Αφαιρώντας τις (1), (2), παίρνουμε ότι $\displaystyle{\hat{x}= \hat{C},}$ άρα τα τρίγωνα EAB, EAC

είναι όμοια.

Οπότε: $\displaystyle{\frac{EA}{EB} = \frac{EC}{EA}}$ , και επειδή EA=ED

, παίρνουμε την ζητούμενη.

Σχόλιο: Μπορούμε να δείξουμε επίσης ότι το

βρίσκεται στην προέκταση της

προς το μέρος του

. Κατ' αρχάς βρίσκεται αριστερά του

και αυτό διότι $\displaystyle{\hat{M}+\hat{D_1} <180^0 \Leftrightarrow 90^0+ \frac{\hat{A}}{2}+\hat{C} <180^0 \Leftrightarrow \hat{A}+2\hat{C} <180^0 = \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} }$
δηλαδή $\hat{C} < \hat{B}$ το οποίο ισχύει αφού AB<AC

.

Επίσης, στο ορθ. τριγ. EMD

είναι $\displaystyle{ \frac{\hat{E}}{2} = 90^0-\hat{D_1} = 90^0-\hat{C}- \frac{\hat{A}}{2} \Leftrightarrow \hat{E} = 180^0- \hat{A} -2\hat{C} \Leftrightarrow \hat{E} = \hat{B}-\hat{C} }$ , οπότε
$\displaystyle{\hat{B}> \hat{E} }$ , άρα το

είναι αριστερά του

.

Edit: προσθέθηκε το σχόλιο.

Χρήστος

#4

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο δίχα και κάθετα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίδεται σκαληνό τρίγωνο με . Η μεσοκάθετος στη διχοτόμο τέμνει την ευθεία στο .

Δείξετε ότι $E{D^2} = EB \cdot EC$ .

Νίκος

Καλησπέρα σε όλους.

: Μεσοκάθετος στη διχοτόμο.png (16.92 KiB) Προβλήθηκε 504 φορές

$\displaystyle{E\widehat AD = A\widehat DE \Leftrightarrow \omega + \varphi = \theta + \varphi \Leftrightarrow \omega = \theta }$ . Άρα η

είναι εφαπτομένη του περίκυκλου του

τριγώνου ABC

, οπότε: $\boxed{E{D^2} = E{A^2} = EB \cdot EC}$

Μεσοκάθετος στη διχοτόμο

Μεσοκάθετος στη διχοτόμο

Re: Μεσοκάθετος στη διχοτόμο

Re: Μεσοκάθετος στη διχοτόμο

Re: Μεσοκάθετος στη διχοτόμο

Μέλη σε σύνδεση