Ώρα εφαπτομένης 168

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 168.png (12.98 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

$\bigstar$ Στο τρίγωνο ABC

, με

, το

είναι σημείο της

, τέτοιο ώστε :

$BS=\dfrac{AB}{3}$ . Αν το τρίγωνο ACS

είναι κι αυτό ισοσκελές , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Λύση χωρίς επέμβαση στο σχήμα πριμοδοτείται ! Χρήση τριγωνομετρίας επιτρέπεται ...

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 16, 2023 8:15 pm
Ώρα εφαπτομένης 168.png $\bigstar$ Στο τρίγωνο , με , το είναι σημείο της , τέτοιο ώστε :

$BS=\dfrac{AB}{3}$ . Αν το τρίγωνο είναι κι αυτό ισοσκελές , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Λύση χωρίς επέμβαση στο σχήμα πριμοδοτείται ! Χρήση τριγωνομετρίας επιτρέπεται ...

Ο νόμος ημιτόνων στο τρίγωνο ACS

δίνει

$\dfrac{ \dfrac{2b}{3} }{sin \phi } = \dfrac{b}{sin \omega } \Rightarrow \dfrac{sin\phi }{sin \omega }= \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{sin \ (4\theta-180^0) }{sin \ (180^0-2 \theta ) }= \dfrac{2}{3} \Rightarrow -\dfrac{sin4 \theta }{sin2 \theta } = \dfrac{2}{3} \Rightarrow cos2 \theta = -\dfrac{1}{3}$

Από $cos2 \theta =2cos^2 \theta -1 \Rightarrow cos^2 \theta = \dfrac{1}{3} \Rightarrow tan^2 \theta =2 \Rightarrow tan \theta = \sqrt{2}$

: ώρα εφαπτομένης 168.png (9.87 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 16, 2023 8:15 pm
$\bigstar$ Στο τρίγωνο , με , το είναι σημείο της , τέτοιο ώστε :

$BS=\dfrac{AB}{3}$ . Αν το τρίγωνο είναι κι αυτό ισοσκελές , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Λύση χωρίς επέμβαση στο σχήμα πριμοδοτείται ! Χρήση τριγωνομετρίας επιτρέπεται ...

: shape.png (19.58 KiB) Προβλήθηκε 938 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 16, 2023 8:15 pm
Ώρα εφαπτομένης 168.png $\bigstar$ Στο τρίγωνο , με , το είναι σημείο της , τέτοιο ώστε :

$BS=\dfrac{AB}{3}$ . Αν το τρίγωνο είναι κι αυτό ισοσκελές , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Λύση χωρίς επέμβαση στο σχήμα πριμοδοτείται ! Χρήση τριγωνομετρίας επιτρέπεται ...

Με $\rm Stewart$ βρίσκω $\displaystyle {a^2} = \frac{{4{b^2}}}{3}$ και με νόμο συνημιτόνου, $\displaystyle \cos \theta = \frac{a}{{2b}}.$

Άρα, $\displaystyle {\tan ^2}\theta = \frac{1}{{{{\cos }^2}\theta }} - 1 = \frac{{4{b^2}}}{{{a^2}}} - 1 = 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan\theta=\sqrt 2}$

Θα μου πείτε ότι ο $\rm Stewart$ είναι εκτός φακέλου. Ωστόσο, αποδεικνύεται εύκολα με τη Γενίκευση του Πυθαγορείου.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 16, 2023 8:15 pm
Ώρα εφαπτομένης 168.png $\bigstar$ Στο τρίγωνο , με , το είναι σημείο της , τέτοιο ώστε :

$BS=\dfrac{AB}{3}$ . Αν το τρίγωνο είναι κι αυτό ισοσκελές , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Λύση χωρίς επέμβαση στο σχήμα πριμοδοτείται ! Χρήση τριγωνομετρίας επιτρέπεται ...

Άλλη μια γεωμετρική λύση ....

Η κάθετη στην

στο

τέμνει την

στο

και την

στο

κι

αν

θα είναι

Με Π.Θ στο τρίγωνο ANS

παίρνουμε $SN=4m \sqrt{2}$

Με $CD \bot SN \Rightarrow SD=2 m\sqrt{2}$ και $CD=m=//BS\Rightarrow SCDB$ παραλ/μμο άρα

$SM=m \sqrt{2}$ και $tan \theta = \dfrac{SM}{SB}= \dfrac{m \sqrt{2} }{m}= \sqrt{2}$

: ώρα εφαπτομένης 168..png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

KARKAR · #6

: Ώρα εφαπτομένης 168.png (14.66 KiB) Προβλήθηκε 873 φορές

Από νόμο συνημιτόνου για την $\hat{A}=2\phi$ στο τρίγωνο ASC

, βρίσκουμε : $\cos2\phi=\dfrac{1}{3}$ .

Με χρήση του : $2\cos^2\phi-1=\cos2\phi$ , βρίσκουμε : $\cos^2\phi=\dfrac{2}{3}$ και $\sin^2\phi=\dfrac{1}{3}$ ,

επομένως : $\cot\phi=\sqrt{2}$ . Επειδή $\phi+\theta=90^0$ , παίρνουμε : $\tan\theta=\cot\phi=\sqrt{2}$ .

Ώρα εφαπτομένης 168

Ώρα εφαπτομένης 168

Re: Ώρα εφαπτομένης 168

Re: Ώρα εφαπτομένης 168

Re: Ώρα εφαπτομένης 168

Re: Ώρα εφαπτομένης 168

Re: Ώρα εφαπτομένης 168

Μέλη σε σύνδεση