Ομοκυκλικά σημεία.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 203.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

Το τετράπλευρο ABCD

του παραπάνω σχήματος, είναι τετράγωνο.
Κύκλος κέντρου

εφάπτεται της πλευράς

στο

, της πλευράς

στο

και του ημικύκλιου διαμέτρου

στο

. Δείξτε ότι τα σημεία Z, B, C, H

είναι του ίδιου κύκλου.

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2023 7:30 pm
203.png

Το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος, είναι τετράγωνο.
Κύκλος κέντρου εφάπτεται της πλευράς στο , της πλευράς στο
και του ημικύκλιου διαμέτρου στο . Δείξτε ότι τα σημεία
είναι του ίδιου κύκλου.

Ο ομόκεντρος κύκλος που διέρχεται από το σταθερό μέσο

του

θα διέρχεται από τα σταθερά σημεία , $M\,\,,\,\,M'$ ,

Με

το συμμετρικό του

ως προς τη δεύτερη διχοτόμο της ορθής γωνίας στο

.

: Ομοκυκλικά σημεία.png (28.63 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Θα εφάπτεται όμως και στην σταθερή παράλληλη ευθεία της

σε απόσταση απ’ αυτή όσο το

.

Έτσι τα $\vartriangle DZH\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle ABZ$ είναι ισοσκελή ορθογώνια και το ζητούμενο φανερό .

Henri van Aubel · #3

Αλλιώς.

Έστω

μέσο του

, τότε

συνευθειακά και συνεπώς $\displaystyle OM=OE+EM=R+\frac{a}{2}\left ( 1 \right )$ . Εξάλλου, $\widehat{OZD}=\widehat{OHD}=\widehat{ZDH}=90^\circ$ και αφού OH=OZ=R

, έπεται ότι το OZDH

είναι τετράγωνο, επομένως $\displaystyle OM^{2}=R^{2}+\left ( R-\frac{a}{2} \right )^{2}=2R^{2}-a\cdot R+\frac{a^{2}}{4}\left ( 2 \right )$ . Από τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουμε $\displaystyle R^{2}+a\cdot R+\frac{a^{2}}{4}=2R^{2}-a\cdot R+\frac{a^{2}}{4}\Longleftrightarrow R=2a$ και άρα AZ=ZD-AD=R-a=2a-a=a=AB

, συνεπώς το $A\overset{\bigtriangleup }BZ$ είναι ορθογώνιο ισοσκελές, επομένως $\displaystyle \widehat{HZB}=\widehat{HZD}+\widehat{AZB}=45^\circ+45^\circ=90^\circ$ . Συνεπώς, το τετράπλευρο HZBC

είναι εγγράψιμο.

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2023 7:30 pm
203.png

Το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος, είναι τετράγωνο.
Κύκλος κέντρου εφάπτεται της πλευράς στο , της πλευράς στο
και του ημικύκλιου διαμέτρου στο . Δείξτε ότι τα σημεία
είναι του ίδιου κύκλου.

: Ομοκυκλικά σημεία_Υπολογισμοί.png (31.61 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Στην Γεωμετρική κατασκευή ( Απολλώνιος E.E.K.

) , για την κατασκευή τού κύκλου $\left( {O,x} \right)$ ,

πρώτα κατασκευάζω τον κύκλο $\Omega$ που διέρχεται από τα M,M'

( συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο , ευθεία,

) και εφάπτεται της ευθείας $\delta$ .

Επειδή : ${x^2} = T{K^2} = KM \cdot KS = KM\left( {KM + MS} \right) = a\left( {a + 3a} \right) = 4{a^2} \Rightarrow \boxed{x = 2a}$

Ομοκυκλικά σημεία.

Ομοκυκλικά σημεία.

Re: Ομοκυκλικά σημεία.

Re: Ομοκυκλικά σημεία.

Re: Ομοκυκλικά σημεία.

Μέλη σε σύνδεση