Ώρα εφαπτομένης 124

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 124.png (7.78 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου ABCD

, τέμνονται στο

. Τα

είναι τα μέσα

των τμημάτων AB , OD

αντίστοιχα . Αν : MN=AD

, υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 27, 2022 8:28 pm
Ώρα εφαπτομένης 124.pngΟι διαγώνιοι του ορθογωνίου , τέμνονται στο . Τα είναι τα μέσα

των τμημάτων αντίστοιχα . Αν : , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Έστω

. Τότε προφανώς (από Π.Θ) θα είναι $B{{D}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Rightarrow O{{D}^{2}}={{\left( \dfrac{BD}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{4}$ .

Από το Θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο $\vartriangle OMD$ και με $O{{M}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4},M{{D}^{2}}\overset{\Pi .\Theta }{\mathop{=}}\,{{a}^{2}}+\dfrac{{{b}^{2}}}{4}$ θα έχουμε:

$D{{M}^{2}}+O{{M}^{2}}=2M{{N}^{2}}+\dfrac{O{{D}^{2}}}{2}\Rightarrow$ ${{a}^{2}}+\dfrac{{{b}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}\overset{MN=a}{\mathop{=}}\,2{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{8}$ $\Rightarrow \ldots \dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}=\dfrac{1}{7}\Rightarrow \dfrac{a}{b}=\tan \theta =\dfrac{\sqrt{7}}{7}$

#3

Φέρνοντας την $\displaystyle{NP}$ κάθετη στην $\displaystyle{AB}$ , δημιουργείται το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{NPM}$ , οπότε αν είναι $\displaystyle{DA=NM =m , AB =n}$ , θα
έχουμε: $\displaystyle{\frac{NP}{m}=\frac{BN}{BO}=\frac{3}{4}}$ . Άρα $\displaystyle{NP=\frac{3m}{4}}$ .
Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{NPM}$ έχουμε $\displaystyle{MN^2 = NP^2 + PM^2 \Rightarrow m^2 =(\frac{3m}{4})^2 +(\frac{n}{4})^2\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{m^2}{n^2}=\frac{1}{7}\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{\sqrt 7}{7} =tan\theta}$

Altrian · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 27, 2022 8:28 pm
Ώρα εφαπτομένης 124.pngΟι διαγώνιοι του ορθογωνίου , τέμνονται στο . Τα είναι τα μέσα

των τμημάτων αντίστοιχα . Αν : , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Προφανώς το

βρίσκεται στη μεσοκάθετο της

, άρα

. Από τα ισοσκελή τρίγωνα DAN, COB

έχουμε:
$sin\theta=\dfrac{x}{a},....sin\theta=\dfrac{a/2}{4x}\Rightarrow sin^{2}\theta=\dfrac{1}{8}\Rightarrow cos^{2}\theta=\dfrac{7}{8}\Rightarrow tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt{7}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 27, 2022 8:28 pm
Ώρα εφαπτομένης 124.pngΟι διαγώνιοι του ορθογωνίου , τέμνονται στο . Τα είναι τα μέσα

των τμημάτων αντίστοιχα . Αν : , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Έστω

Είναι $\displaystyle NP|| = \frac{{OC}}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{4}.$ Θ. διαμέσων στο MNP:

: Ώρα εφαπτομένης 124.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

$\displaystyle N{P^2} + {b^2} = 2N{O^2} + \frac{{{b^2}}}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{16}} + {b^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{8} + \frac{{{b^2}}}{2} \Leftrightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{7} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{1}{{\sqrt 7 }}}$

#6

: Ωρα εφαπτομένης 124_Αναλυτική Γεωμ.png (22.22 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

Θεωρώ σύστημα συντεταγμένων με αρχή το

, οριζόντιο άξονα την

,

κατακόρυφο την

, μοναδιαίο διάνυσμα, $\boxed{\overrightarrow j = \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} }$ και $AB = 4k,\,\,k > 0$

Επειδή $\overrightarrow {NM} = \left( {k, - 3} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,NM = AD \Rightarrow {k^2} + 9 = 16 \Rightarrow k = \sqrt 7$ , άρα $\boxed{\tan \theta = \frac{1}{{\sqrt 7 }}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 27, 2022 8:28 pm
Ώρα εφαπτομένης 124.pngΟι διαγώνιοι του ορθογωνίου , τέμνονται στο . Τα είναι τα μέσα

των τμημάτων αντίστοιχα . Αν : , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Με $NL//a\Rightarrow MO=2OK \Rightarrow O$ κ.βάρους του τριγώνου $NML\Rightarrow NQ=QM= \dfrac{b}{2}$

Άρα $\angle DOA= \angle OMQ=2 \theta$ κι από NO^2=NQ.NM

εύκολα $\dfrac{b}{a}= \dfrac{ \sqrt{7} }{7} =tan \theta$

: ώρα εφαπτομένης 124.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Ώρα εφαπτομένης 124

Ώρα εφαπτομένης 124

Re: Ώρα εφαπτομένης 124

Re: Ώρα εφαπτομένης 124

Re: Ώρα εφαπτομένης 124

Re: Ώρα εφαπτομένης 124

Re: Ώρα εφαπτομένης 124

Re: Ώρα εφαπτομένης 124

Μέλη σε σύνδεση