Εγγραφή τριγώνου σε δύο κύκλους και σε ευθεία

#1

Δίνονται οι κύκλοι $\displaystyle{C_1(O_1,R_1)}$ και $\displaystyle{C_2(O_2,R_2)}$ καθώς και η ευθεία $\displaystyle{(e)}$ επί του
επιπέδου αυτών. Αν $\displaystyle{A}$ είναι ένα σημείο της ευθείας αυτής, τότε να βρεθεί το ορθογώνιο τρίγωνο
$\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{A=90^o}$ , $\displaystyle{B\in{C_1}}$ και $\displaystyle{C\in{C_2}}$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{(AC)=\frac{16}{(AB)}}$ .

: Εγγραφή τριγώνου σε δυο κύκλους και ευθεία 1.png (22.11 KiB) Προβλήθηκε 680 φορές

S.E.Louridas · #2

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 06, 2021 11:43 am
Δίνονται οι κύκλοι $\displaystyle{C_1(O_1,R_1)}$ και $\displaystyle{C_2(O_2,R_2)}$ καθώς και η ευθεία $\displaystyle{(e)}$ επί του
επιπέδου αυτών. Αν $\displaystyle{A}$ είναι ένα σημείο της ευθείας αυτής, τότε να βρεθεί το ορθογώνιο τρίγωνο
$\displaystyle{ABC}$ με $\displaystyle{A=90^o}$ , $\displaystyle{B\in{C_1}}$ και $\displaystyle{C\in{C_2}}$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{(AC)=\frac{16}{(AB)}}$ .

Επί του πιεστηρίου:
Θεωρούμε προς στιγμή το

σταθερό.
Αν

η τομή της

με τον κύκλο C_2

, τότε, $AC \cdot AD = AO_2^2 - R_2^2 = {m^2},\;ct.$ Οπότε προκύπτει $\displaystyle{\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{{m^2}}}{{16}} = a,\;ct.}$
Έτσι πάμε στον προσδιορισμό (δες προηγούμενη ανάρτηση του Κώστα που έχει γίνει αυτό) του ορθογωνίου στην κορυφή

τριγώνου

που βέβαια παραμένει όμοιο προς τον εαυτό του.
Αλλά μόλις προσδιοριστεί το τρίγωνο ABD

, αυτόματα προσδιορίζεται η

και βέβαια η τομή της με τον κύκλο C_2

, που είναι η

και έτσι κατασκευάστηκε και το τρίγωνο ABC.

#3

: Εγγραφή τριγώνου σε δύο κύκλους κι ευθεία_Κατασκευή.png (33.17 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Δίνω μόνο την κατασκευή . Την Ανάλυση και την απόδειξη και διερεύνηση εν ευθέτω χρόνο.

Αντιστρέφω τον $\left( {{O_2}} \right)$ με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής ${k^2} = {4^2} = 16$ και προκύπτει ο κύκλος

.

Στρέφω τον κύκλο $\left( {{O_1}} \right)$ γύρω από το

κατά $90^\circ$ ( δεξιά σ αυτό το σχήμα ) και προκύπτει ο κύκλος

.

Ενώνω ένα από τα κοινά σημεία P,Q

( π.χ. το

) των δύο αυτών κύκλων $X\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Y$ με το

και ας είναι

το σημείο τομής του $\left( {{O_2}} \right)$ με την

.

Η κάθετη στην

στο

τέμνει τον $\left( {{O_1}} \right)$ στο

.

Ανάλυση ή τρόπος σκέψης

: Εγγραφή τριγώνου σε δύο κύκλους κι ευθεία_Ανάλυση.png (30.4 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Επειδή $AB \cdot AC = 16$ ( σταθερό) « υποψιάζομαι» ότι υπάρχει κεκαλυμμένη Αντιστροφή.

Προεκτείνω λοιπόν την πιο μικρή κάθετη πλευρά του $\vartriangle ABC$ ώστε να γίνει ίση με την πιο μεγάλη ( ή κι αλλιώς , κάνω τη μεγάλη πιο μικρή)

Ας είναι

στην προέκταση της

προς το

, έτσι ώστε : AP = AB

. Τότε $AB \cdot AC = AC \cdot AP = 16\,\,\left( 1 \right)$ .

Μα τότε το

είναι η εικόνα του

στην αντιστροφή του κύκλου $\left( {{O_2}} \right)$

με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής , ${k^2} = 16 = {4^2}$ , συνεπώς ο κύκλος αντιστροφής έχει ακτίνα 4.

Δηλαδή για κάθε θέση του

προσδιορίζεται και η γραμμή που διαγράφει το

Εδώ είναι ο κύκλος

.

Προφανώς όμως το

ανήκει και στον κύκλο

που προκύπτει από την στροφή του $\left( {{O_1}} \right)$ γύρω από το

κατά γωνία $\theta = 90^\circ$ ( εδώ δεξιόστροφα).

Το πρόβλημα έχει : $2\,\,,\,\,1$ ή καμιά λύση , εφ’ όσον οι κύκλοι $X\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Y$ τέμνονται , εφάπτονται ή δεν έχουν καθόλου κοινά σημεία.

Εγγραφή τριγώνου σε δύο κύκλους και σε ευθεία

Εγγραφή τριγώνου σε δύο κύκλους και σε ευθεία

Re: Εγγραφή τριγώνου σε δύο κύκλους και σε ευθεία

Re: Εγγραφή τριγώνου σε δύο κύκλους και σε ευθεία

Μέλη σε σύνδεση