Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος

#1

: 1 κύκλος και 2 ημικύκλια.png (15.49 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Θεωρώ τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία A, B, C, D

ώστε

και γράφω τα ημικύκλια με

διαμέτρους

και

Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου (K)

που να εφάπτεται εσωτερικά στο ένα ημικύκλιο,

εξωτερικά στο άλλο, καθώς επίσης και στο τμήμα CD.

Στη συνέχεια υπολογίστε την $\displaystyle \tan \theta,$ όπου $\displaystyle \theta = D\widehat AK.$

KARKAR · #2

: Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

Με Π.Θ. στα τρίγωνα BKS , CKS

παίρνω :

και :

.

Η επίλυση του συστήματος δίνει : $r=\dfrac{R\sqrt{3}}{4}$ , οπότε η τομή των κύκλων (S , r)

και

δίνει το σημείο

. Είναι επίσης : $x=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}R$ , οπότε : $\tan\theta = \dfrac{r}{2R+x}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 02, 2021 6:52 pm
1 κύκλος και 2 ημικύκλια.png
Θεωρώ τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία ώστε και γράφω τα ημικύκλια με

διαμέτρους και Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου που να εφάπτεται εσωτερικά στο ένα ημικύκλιο,

εξωτερικά στο άλλο, καθώς επίσης και στο τμήμα Στη συνέχεια υπολογίστε την $\displaystyle \tan \theta,$ όπου $\displaystyle \theta = D\widehat AK.$

Αν

η προβολή του κέντρου

στην

και αν οι ακτίνες των μεγάλων κύκλων είναι

, του μικρού είναι

και αν

, τότε από τα ορθογώνια τρίγωνα $BKL,\, CKL$ έχουμε

$\displaystyle{(R+x)^2+r^2 = (R+r)^2, (R-r)^2 = r^2+x^2}$ . Λύνοντας θα βρούμε $r= \dfrac {\sqrt 3 R}{4}, \, x= \dfrac {(\sqrt 3 -1)R}{2}$ .

Έπεται ότι $\tan \theta = \dfrac {KL}{AL} = \dfrac {r}{R+R+x}= \dfrac {\sqrt 3 -1}{4}$

Μένει η κατασκευή του κύκλου. Ο δύσκολος τρόπος είναι να το δούμε ως το "Πρόβλημα του Απολλωνίου" για τα δεδομένα ημικύκλια και την ευθεία

. Αλλιώς παίρνουμε

ως άνω, δεξιά του

, και κάθετο LK=r=

ως άνω. Γράφουμε τώρα τον κύκλο (K, KL)

Edit: Με πρόλαβε ο Θανάσης με ακριβώς την ίδια λύση. Το αφήνω.

Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος

Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος

Re: Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος

Re: Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος

Μέλη σε σύνδεση