Παραλληλία σε περιγράψιμο τετράπλευρο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA194=FB1480.png (21.58 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές

Σε περιγράψιμο τετράπλευρο ABCD

, οι γωνίες του $\hat{BAD}=\hat{CDA}=120^o$ .

α. Δείξτε οτι $\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{AD}$

β. Αν S, T

σημεία της

τέτοια ώστε BS=ST=TC

, δείξτε οτι $AS \parallel DT$

STOPJOHN · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 20, 2017 11:48 am
GEOMETRIA194=FB1480.png

Σε περιγράψιμο τετράπλευρο , οι γωνίες του $\hat{BAD}=\hat{CDA}=120^o$ .

α. Δείξτε οτι $\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{AD}$

β. Αν σημεία της τέτοια ώστε , δείξτε οτι $AS \parallel DT$

Γειά σου Σάκη και Χρόνια Πολλά

α)Θέτουμε AB=d,AD=b,DC=c,BC=k

Το τρίγωνο KAD

είναι ισόπλευρο γιατί $\hat{KAD}=180-120=60^{0},\hat{KDA}=180-120=60^{0}$
Αρα AK=KD=AD=b

Το τετράπλευρο ABCD

είναι περιγράψιμο σε κύκλο άρα k=d+c-b,(1)

απο΄ το νόμο συνημητόνων στο τρίγωνο $KBC,(d+c-b)^{2}=(d+b)^{2}+(b+c)^{2}-(d+b)(b+c)\Leftrightarrow bd=cd-cb\Leftrightarrow \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{AD}$

β) Ειναι BS=ST=TC=a,k=3a

Κατασκευάζω την KM//AS

Θα αποδείξω ότι KM//DT

Ισχύουν $a=\dfrac{d+c-b}{3},(1), \dfrac{d}{d+b}=\dfrac{a}{a+SM}\Leftrightarrow SM=\dfrac{b}{d}.\dfrac{c+d-b}{3},(2),$
Από το πρώτο ερώτημα bd=cd-cb,(3)

Θα αποδειχθεί ότι $\dfrac{c}{c+b}=\dfrac{a}{a+MT}\Leftrightarrow SM=\dfrac{c-b}{c}\dfrac{d+c-b}{3}$
και λόγω της (3)

$SM=\dfrac{b}{d}\dfrac{d+c-b}{3}$
H οποία ισχύει λόγω της (2)

Γιάννης

Παραλληλία σε περιγράψιμο τετράπλευρο

Παραλληλία σε περιγράψιμο τετράπλευρο

Re: Παραλληλία σε περιγράψιμο τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση