Παραλληλία σε περιγράψιμο τετράπλευρο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 844
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Παραλληλία σε περιγράψιμο τετράπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τετ Δεκ 20, 2017 11:48 am

GEOMETRIA194=FB1480.png
GEOMETRIA194=FB1480.png (21.58 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές

Σε περιγράψιμο τετράπλευρο ABCD, οι γωνίες του \hat{BAD}=\hat{CDA}=120^o.

α. Δείξτε οτι \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{AD}

β. Αν S, T σημεία της BC τέτοια ώστε BS=ST=TC, δείξτε οτι AS \parallel DT


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2707
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Παραλληλία σε περιγράψιμο τετράπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Δεκ 22, 2017 4:27 pm

sakis1963 έγραψε:
Τετ Δεκ 20, 2017 11:48 am
GEOMETRIA194=FB1480.png


Σε περιγράψιμο τετράπλευρο ABCD, οι γωνίες του \hat{BAD}=\hat{CDA}=120^o.

α. Δείξτε οτι \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{AD}

β. Αν S, T σημεία της BC τέτοια ώστε BS=ST=TC, δείξτε οτι AS \parallel DT
Γειά σου Σάκη και Χρόνια Πολλά

α)Θέτουμε AB=d,AD=b,DC=c,BC=k Το τρίγωνο KAD
είναι ισόπλευρο γιατί \hat{KAD}=180-120=60^{0},\hat{KDA}=180-120=60^{0}
Αρα AK=KD=AD=b
Το τετράπλευρο ABCD
είναι περιγράψιμο σε κύκλο άρα k=d+c-b,(1)
απο΄ το νόμο συνημητόνων στο τρίγωνο KBC,(d+c-b)^{2}=(d+b)^{2}+(b+c)^{2}-(d+b)(b+c)\Leftrightarrow bd=cd-cb\Leftrightarrow \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{AD}


β) Ειναι BS=ST=TC=a,k=3a

Κατασκευάζω την KM//AS
Θα αποδείξω ότι KM//DT
Ισχύουν a=\dfrac{d+c-b}{3},(1), \dfrac{d}{d+b}=\dfrac{a}{a+SM}\Leftrightarrow SM=\dfrac{b}{d}.\dfrac{c+d-b}{3},(2),
Από το πρώτο ερώτημα bd=cd-cb,(3)
Θα αποδειχθεί ότι\dfrac{c}{c+b}=\dfrac{a}{a+MT}\Leftrightarrow SM=\dfrac{c-b}{c}\dfrac{d+c-b}{3}
και λόγω της (3)
SM=\dfrac{b}{d}\dfrac{d+c-b}{3}
H οποία ισχύει λόγω της (2)




Γιάννης
Συνημμένα
Παραλληλία σε περιγράψιμο τετράπλευρο.png
Παραλληλία σε περιγράψιμο τετράπλευρο.png (80.09 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης