Παραλληλόγραμμο!

Ορέστης Λιγνός · #1

Το

είναι παραλληλόγραμμο.

Ισχύουν ότι $AE=EZ=ZD, \, CF=FH=HD$ .

Να δείξετε ότι:

α) $KM \parallel AD$ ,

β) $(KLM)=\dfrac{20}{33}(KLMN)$

: embada.png (18.21 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Το είναι παραλληλόγραμμο.

Ισχύουν ότι $AE=EZ=ZD, \, CF=FH=HD$ .

Να δείξετε ότι:

α) $KM \parallel AD$ ,

β) $(KLM)=\dfrac{20}{33}(KLMN)$

embada.png

Γεια σου Ορέστη.

1. $\displaystyle{FD//AB \Rightarrow \frac{{FD}}{{BA}} = \frac{{PD}}{{PB}} = \frac{2}{3}}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{BED}$ με διατέμνουσα $\displaystyle{PKA \Rightarrow \frac{{PD}}{{PB}} \cdot \frac{{KB}}{{KE}} \cdot \frac{{AE}}{{AD}} = 1 \Rightarrow \frac{2}{3} \cdot \frac{{KB}}{{KE}} \cdot \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{KB}}{{KE}} = \frac{9}{2}}}$

$\displaystyle{HD//BA \Rightarrow \frac{{HD}}{{BA}} = \frac{{QD}}{{QB}} = \frac{1}{3}}$ και στο τρίγωνο $\displaystyle{DBZ}$ με διατέμνουσα $\displaystyle{QMA \Rightarrow \frac{{QD}}{{QB}} \cdot \frac{{MB}}{{MZ}} \cdot \frac{{AZ}}{{AD}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot \frac{{MB}}{{MZ}} \cdot \frac{2}{3} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{MB}}{{MZ}} = \frac{9}{2}}}$

Άρα $\displaystyle{\frac{{KB}}{{KE}} = \frac{{MB}}{{MZ}} = \frac{9}{2} \Rightarrow KM//AD}$

2.Έτσι $\displaystyle{\frac{{KM}}{{EZ}} = \frac{{BK}}{{BE}} = \frac{9}{{11}}}$ και $\displaystyle{\frac{{KM}}{{AZ}} = \frac{{LK}}{{LA}} \Rightarrow \frac{{KM}}{{2EZ}} = \frac{{LK}}{{LA}} \Rightarrow \frac{{LK}}{{LA}} = \frac{9}{{22}} \Rightarrow \frac{{KL}}{{KA}} = \frac{9}{{13}} \Rightarrow \boxed{\left( {KLM} \right) = \frac{9}{{13}}\left( {KAM} \right)}(1)}$

$\displaystyle{\frac{{NM}}{{NA}} = \frac{{KM}}{{AE}} = \frac{9}{{11}} \Rightarrow \frac{{NM}}{{AM}} = \frac{9}{{20}} \Rightarrow \boxed{\left( {KNM} \right) = \frac{9}{{20}}\left( {KAM} \right)}}$ $\displaystyle{(2)}$

$\displaystyle{\frac{{(1)}}{{(2)}} \Rightarrow \frac{{\left( {KLM} \right)}}{{\left( {KNM} \right)}} = \frac{{20}}{{13}} \Rightarrow \boxed{(KLM) = \frac{{20}}{{33}}\left( {KLNM} \right)}}$

: παραλληλόγραμμο.png (10.09 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Το είναι παραλληλόγραμμο.Ισχύουν ότι $AE=EZ=ZD, \, CF=FH=HD$ .
Να δείξετε ότι:
α) $KM \parallel AD$ ,
β) $(KLM)=\dfrac{20}{33}(KLMN)$

$\bullet$ α) Με το μέσο της και $AB\parallel DF$ προκύπτει ότι η δέσμη είναι αρμονική άρα και οι σειρές $\left( Z,M,L,B \right)\,\,\And \,\,\left( E,N,K,B \right)$ είναι αρμονικές οπότε και η δέσμη $M.FNKB\equiv M.EAKZ$ και με το μέσο της θα είναι $KM\parallel AZ\parallel BC$

$\bullet$ β) Έστω $S \equiv AH \cap BC\mathop \Rightarrow \limits^{AD\parallel BS} \dfrac{{CS}}{{AD}} = \dfrac{{HC}}{{HD}} = 2\mathop \Rightarrow \limits^{BC = AD} \boxed{BS = 3AD}:\left( 1 \right)$ . Από την αρμονική σειρά

$\left( {Z,M,L,B} \right)\, \Rightarrow \dfrac{{LM}}{{MZ}} = \dfrac{{BL}}{{BZ}} \Rightarrow \dfrac{{LM}}{{BL}} = \dfrac{{MZ}}{{BZ}} \Rightarrow$ $\dfrac{{LM}}{{BL + LM}} = \dfrac{{MZ}}{{BZ + MZ}} \Rightarrow \dfrac{{LM}}{{BM}} = \dfrac{{MZ}}{{BZ + MZ}}:\left( 1 \right)$ .

Είναι $\dfrac{{MZ}}{{BZ}}\mathop = \limits^{AZ\parallel BS} \dfrac{{AZ}}{{AZ + BS}} = \dfrac{{\dfrac{2}{3}AD}}{{\dfrac{2}{3}AD + 3AD}} = \dfrac{2}{{11}} \Rightarrow$ $\dfrac{{MZ}}{{BZ + MZ}} = \dfrac{2}{{13}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{\dfrac{{LM}}{{BM}} = \dfrac{2}{{13}}}:\left( 2 \right)$ .
[attachment=0]παραλληλόγραμμο.png[/attachment]
Από την αρμονική σειρά $\left( E,N,K,B \right)$ θα είναι $\dfrac{KN}{NE}=\dfrac{BK}{BE}\Rightarrow \dfrac{KN}{BK}=\dfrac{NE}{BE}:\left( 3 \right)$ και ισχύει επίσης

$\dfrac{{NE}}{{BE}}\mathop = \limits^{AE\parallel BS} \dfrac{{AE}}{{AE + BS}} =$ $\dfrac{{\dfrac{1}{3}AD}}{{\dfrac{1}{3}AD + 3AD}} = \dfrac{1}{{10}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \boxed{\dfrac{{KN}}{{BK}} = \dfrac{1}{{10}}}:\left( 4 \right)$ .

$\bullet$ Τα τρίγωνα $\vartriangle KLM,\vartriangle KBM$ μοιράζονται το ίδιο ύψος από το , άρα $\boxed{\dfrac{{\left( {KLM} \right)}}{{\left( {BKM} \right)}} = \dfrac{{LM}}{{BM}}\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} \dfrac{2}{{13}}}:\left( 5 \right)$ .

Ομοίως τα τρίγωνα $\vartriangle NKM,\vartriangle KBM$ μοιράζονται το ίδιο ύψος από το , άρα $\boxed{\dfrac{{\left( {KNM} \right)}}{{\left( {BKM} \right)}} = \dfrac{{KN}}{{BK}}\mathop = \limits^{\left( 4 \right)} \dfrac{1}{{10}}}:\left( 6 \right)$

Από $\left( 5 \right):\left( 6 \right) \Rightarrow \dfrac{{\left( {KLM} \right)}}{{\left( {KNM} \right)}} = \dfrac{2}{{13}}:\dfrac{1}{{10}} = \dfrac{{20}}{{13}} \Rightarrow$ $\dfrac{{\left( {KLM} \right)}}{{\left( {KNM} \right) + \left( {KLM} \right)}} = \dfrac{{20}}{{33}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{\left( {KLM} \right)}}{{\left( {KLMN} \right)}} = \dfrac{{20}}{{33}}}$ και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Μάλλον γράφαμε ταυτόχρονα με τον αγαπητό Μιχάλη

Ορέστης Λιγνός · #4

Πολλά

στους εκπληκτικούς γεωμέτρες!

Παραλληλόγραμμο!

Παραλληλόγραμμο!

Re: Παραλληλόγραμμο!

Re: Παραλληλόγραμμο!

Re: Παραλληλόγραμμο!

Μέλη σε σύνδεση