Τρίγωνα

eliaspapas · #1

Αν οι διάμεσοι BD,CE τριγώνου $\vartriangle$ ABC είναι ίσες να δείξετε ότι αυτό είναι ισοσκελές .

#2

eliaspapas έγραψε:Αν οι διάμεσοι BD,CE τριγώνου $\vartriangle$ ABC είναι ίσες να δείξετε ότι αυτό είναι ισοσκελές .

Από τους τύπους των διαμέσων: $\displaystyle{{m_b}^2 = {m_c}^2 \Leftrightarrow \frac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4} \Leftrightarrow }$ $\boxed{b=c}$

eliaspapas · #3

Με τα κριτήρια ισότητας γίνεται να το αποδείξω ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Με Α Λυκείου.

Εστω

το βαρύκεντρο.

$BG=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}CE=CG$

Αρα το BGC

είναι ισοσκελές.

Αν

το μέσον της

τότε η

είναι διάμεσος και υψος στο ισοσκελές BGC

Αρα η

είναι διάμεσος και υψος στο ABC

Αρα ισοσκελές.

#5

eliaspapas έγραψε:Αν οι διάμεσοι BD,CE τριγώνου $\vartriangle$ ABC είναι ίσες να δείξετε ότι αυτό είναι ισοσκελές .

Πέραν της λύσης του κ. Παπαδόπουλου με ύλη Α λυκείου :

Αν προεκτείνουμε το $\Delta {\rm E}$ εκατέρωθεν κατά ίσο τμήμα . Η λύση αυτή υπάρχει σε αρκετά

Βιβλία γεωμετρίας π.χ. στο βιβλίο για Α’ Λυκείου του κ. Αντώνη Κυριακόπουλου .

Ακόμα :

Το τετράπλευρο ${\rm E}\Delta \Gamma {\rm B}$ έχει ${\rm E}\Delta //{\rm B}\Gamma$ και διαγώνιους ίσες , άρα είναι ισοσκελές

Τραπέζιο οπότε ${\rm E}{\rm B} = \Delta \Gamma \Leftrightarrow 2{\rm E}{\rm B} = 2\Delta \Gamma \Leftrightarrow {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma$ .

Κι οι δύο πιο πάνω λύσεις έχουν ανεβεί παλιότερα στο

Φιλικά

Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

eliaspapas έγραψε:Αν οι διάμεσοι BD,CE τριγώνου $\vartriangle$ ABC είναι ίσες να δείξετε ότι αυτό είναι ισοσκελές .

Έστω $\displaystyle{AM}$ η τρίτη διάμεσος

$\displaystyle{MZ = //BD \Rightarrow BDZM}$ παραλ/μμο και προφανώς τα $\displaystyle{E,D,Z}$ συνευθειακά

με $\displaystyle{ED = DZ = \frac{{BC}}{2} \Rightarrow AZCE}$ παραλ/μμο $\displaystyle{ \Rightarrow AZ = EC}$

Έτσι, $\displaystyle{\vartriangle AZM}$ ισοσκελές κι επειδή το $\displaystyle{N}$ είναι μέσον της $\displaystyle{AM}$ $\displaystyle{ \Rightarrow ZN \bot AM}$

Το παραλ/μμο λοιπόν $\displaystyle{AEMD}$ είναι ρόμβος οπότε η $\displaystyle{AM}$ διχοτομεί την $\displaystyle{\angle A}$ άρα $\displaystyle{\boxed{AB = AC}}$

: τρίγωνα.png (19.6 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Τρίγωνα

Τρίγωνα

Re: Τρίγωνα

Re: Τρίγωνα

Re: Τρίγωνα

Re: Τρίγωνα

Re: Τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση